Lineær model (lineær regression)

Matematik C · STX · C-niveau · Modellering med CAS

🧮 Lineær model (lineær regression)

Lineær model = matematisk model af formen y = a·x + b. Bruges når data antydningsvis ligger på en ret linje.

Anvendelse

når der er proportional sammenhæng (eller approksimativt) mellem to variabler. Eksempler: temperatur vs. tid, salg vs. reklame-budget, højde vs. alder (i visse aldre).

Antagelser:

1. Sammenhængen ER lineær.

2. Variansen er konstant.

3. Fejlene er normalt fordelt.

4. Datapunkterne er uafhængige.

Procedure:

1. Plot data i koordinatsystem.

2. Visuel vurdering — ligner det en ret linje?

3. Beregn lineær regression med CAS (mindste kvadraters metode).

4. Få a (hældning) + b (skæring) + R² (forklaringsgrad).

5. Vurdér R² — hvis < 0,7 overvej anden model.

6. Anvend modellen til forudsigelse + diskutér grænser for ekstrapolering.

Eksempel — Spotify-eksperiment: Antal lytte-timer (x) vs. lykke-score (y). Data: {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}. Regression giver y = x + 2, R² = 1,0 (perfekt). Tolkning: hver ekstra time øger lykke 1 point. b = 2 betyder grundlykke uden lyttning.

Eksempel — temperatur: temperatur i Aarhus 1900-2024. Lineær trend +1,5°C/100 år. R² ~0,7 (rimelig pasform med klimasignaler).

Anvendelse-grænser: lineær model fejler ofte ved ekstreme værdier. Eksponentiel model er bedre til vækst. Logaritmisk til mætning.

Klassisk fejl: ekstrapolere langt ud over data — modellen er kun valid INDEN dataområdet.

CAS: GeoGebra FitLine[points], WordMat regression, Excel =LINEST.

HHX-relevans: økonomisk

Læringsmål

• Genkende hvornår en lineær model y = a·x + b er en god beskrivelse af et datasæt
• Følge proceduren: plot data, vurdér visuelt, kør CAS-regression, aflæs a/b/R², vurdér, anvend
• Fortolke hældningen a og skæringen b i en konkret sammenhæng (fx Spotify-eksemplet)
• Vurdere om R² < 0,7 betyder at en anden modeltype bør overvejes
• Diskutere grænserne for ekstrapolation ud over datasættets område

Sådan kan du arbejde med emnet

• Opstil en lineær model for et datasæt og brug den til at forudsige en fremtidig værdi
• Forklar hvordan man aflæser hældning og skæring med y-aksen i en lineær model
• Diskutér i hvilke situationer en lineær model er en god beskrivelse af virkeligheden

Træningsforslag

• For datasættet {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7)}: lav en lineær regression i CAS, og fortolk a og b i en konkret sammenhæng.
• Plot temperaturdata for Aarhus 1900-2024 og diskutér, om R² ≈ 0,7 er en god eller dårlig pasform.
• Forklar hvorfor en lineær model kan være uegnet til at beskrive befolkningsvækst over lang tid.
• Brug CAS til at lave en lineær regression på et selvvalgt økonomisk datasæt (fx omsætning over 5 år), og vurdér modellen.

Brobygning

Den lineære model er udgangspunktet for at vælge mellem modeltyper, som uddybes i de næste emner om eksponentiel og potens-model.