Eksponentiel model (vækst og henfald)

Matematik C · STX · C-niveau · Modellering med CAS

🧮 Eksponentiel model (vækst og henfald)

Eksponentiel model: y = b·a^x, hvor b = startværdi, a = fremskrivningsfaktor.

Vækst (a > 1): bakterie, befolkning, kapital.

Henfald (0 < a < 1): radioaktivitet, koffein-nedbrydning, kølende kaffe.

Karakteristika: konstant procentvis ændring per tidsenhed. Vækstrate r = a − 1.

Når bruge?: når data fordobles (eller halveres) i fast tidsperiode. På semi-log-papir bliver eksponentiel model en RET LINJE (log y vs. x).

Eksempel — population: f(x) = 100·1,2^x. Start 100, vokser 20% per time. Efter 5 timer: f(5) = 100·1,2⁵ = 248,8.

Eksempel — radioaktivt henfald: N(t) = N₀·(1/2)^(t/T_½). For C-14 (T_½ = 5.730 år) — bruges til datering af organisk materiale (Willard Libby, Nobel 1960). 50.000 år gammelt knoglefund: 0,002 % af originalt C-14 tilbage.

Eksempel — kapitalfremskrivning: K_n = K_0·(1+r)^n. 10.000 kr ved 5% rente i 10 år: K_10 = 10.000·1,05¹⁰ = 16.289 kr.

Linearisering: tag log på begge sider — log y = log b + x·log a. Lineær i log-y vs. x. Brug log-papir eller log-transformation.

Eksempel — COVID-19: R₀ = 2,5 → fordoblingstid ~3 dage. Eksponentiel vækst i pandemi indtil intervention.

Klassisk fejl: ekstrapolere uendeligt — virkeligheden begrænses af logistisk model (S-kurve, ressourcer).

CAS: GeoGebra Fit[ExpFunction], WordMat eksponentiel regression, Excel TENDENS-funktion.

C-niveau-fokus

anvend modellen + beregn vækstrate + fordoblingstid + halveringstid.

Læringsmål

• Genkende eksponentiel vækst/henfald ud fra at data fordobles eller halveres med fast mellemrum
• Linearisere data ved at tage log på y-værdierne, så semi-log-plot bliver en ret linje
• Bruge CAS (Fit[ExpFunction]) til at finde a og b i y = b·a^x
• Beregne vækstrate, fordoblingstid og halveringstid ud fra den fundne model
• Diskutere hvornår en logistisk model (S-kurve) er mere realistisk end en ren eksponentiel model

Sådan kan du arbejde med emnet

• Opstil en eksponentiel model for en befolkning, der vokser med 2% om året
• Brug en eksponentiel model til at beregne, hvornår en mængde er halveret
• Diskutér et eksempel fra hverdagen, hvor en eksponentiel model er mere realistisk end en lineær

Træningsforslag

• For datasættet 10.000 → 10.500 → 11.025 → 11.576: brug CAS til at finde den eksponentielle model, og bekræft at R² = 1,0.
• Plot et semi-log-diagram for et eksponentielt datasæt, og vis at det bliver en ret linje.
• Beregn fordoblingstiden for en model med a = 1,2, og sammenlign med 72-reglen.
• Diskutér hvorfor COVID-19-data tidligt fulgte en eksponentiel model, men senere afveg fra den.

Brobygning

Lineariseringsteknikken (log-transformation) er nøglen til at vælge mellem eksponentiel og potens-model i de næste emner.