Sandsynlighedsregning (basis)

Matematik C · STX · C-niveau · Statistik

🧮 Sandsynlighedsregning (basis)

Sandsynlighed = matematisk beskrivelse af tilfældige hændelser. Sandsynlighed P(A) = mellem 0 og 1.

P(A) = 0: hændelse umulig.

P(A) = 1: hændelse sikker.

P(A) = 0,5: 50% chance.

Definition (klassisk): P(A) = (antal gunstige udfald)/(antal mulige udfald) — gælder hvis ALLE udfald er LIGE SANDSYNLIGE.

Eksempel — terningekast: 1 terning. Udfald: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 6 mulige. P(6) = 1/6 ≈ 0,167. P(lige tal) = 3/6 = 0,5. P(>4) = 2/6 = 1/3.

Eksempel — kortspil: 52 kort, 4 farver × 13 værdier. P(es) = 4/52 = 1/13. P(rødt kort) = 26/52 = 0,5. P(es eller konge) = 8/52 = 2/13.

Komplement: P(IKKE A) = 1 − P(A). Eks: P(IKKE 6 på terning) = 1 − 1/6 = 5/6.

Hovedregler

1.

Sum-regel (uafhængige hændelser): P(A ELLER B) = P(A) + P(B) − P(A OG B). Hvis disjunkte (kan ikke ske samtidig): P(A OG B) = 0.

Eksempel: P(es eller hjerter) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52.

2.

Produkt-regel (uafhængige): P(A OG B) = P(A) · P(B).

Eksempel — 2 mønter: P(begge krone) = 0,5·0,5 = 0,25. P(begge plat) = 0,25. P(en af hver) = 0,5.

3.

Betinget sandsynlighed: P(A|B) = P(A og B)/P(B). Sandsynlighed for A GIVET at B er sket.

Eksempel: P(rødt kort | dame) = P(rød dame)/P(dame) = 2/52 / 4/52 = 1/2.

Sandsynlighedstræ: visualiserer flere stadier.

Eksempel: pose med 3 røde + 2 blå kugler. Træk 2 uden tilbage. Træ-grene: rød×rød (3/5·2/4=6/20=30%), rød×blå (3/5·2/4=6/20=30%), blå×rød (2/5·3/4=6/20=30%), blå×blå (2/5·1/4=2/20=10%). Tjek sum: 100%. *

Læringsmål

• Beregne sandsynligheder med den klassiske definition: gunstige/mulige udfald
• Anvende komplementreglen P(ikke A) = 1 − P(A)
• Anvende sumreglen P(A eller B) = P(A) + P(B) − P(A og B)
• Anvende produktreglen for uafhængige hændelser P(A og B) = P(A)·P(B)
• Konstruere og aflæse sandsynlighedstræer for flertrins-eksperimenter

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn sandsynligheden for at slå en sekser med en almindelig terning
• Beregn sandsynligheden for at få to plat ved to kast med en mønt
• Forklar forskellen mellem en teoretisk og en eksperimentel sandsynlighed

Træningsforslag

• Beregn P(lige tal), P(>4) og P(ikke 6) ved kast med én terning.
• Beregn P(es eller hjerter) ved træk af ét kort fra et almindeligt spil.
• Tegn et sandsynlighedstræ for at trække 2 kugler uden tilbagelægning fra en pose med 3 røde og 2 blå kugler, og tjek at sandsynlighederne summer til 100%.
• Beregn den betingede sandsynlighed P(rødt kort | dame).

Brobygning

Sandsynlighedsregning er forudsætningen for at forstå normalfordelingen og 68-95-99,7-reglen i det næste emne.