Lineær regression og R²

Matematik C · STX · C-niveau · Statistik

🧮 Lineær regression og R²

Lineær regression = find den BEDSTE rette linje y = a·x + b der passer til datapunkter.

Mindste kvadraters metode (Gauss 1795): minimér Σ(yᵢ − (a·xᵢ + b))². Differentiér + sæt = 0 → giver formler for a + b. Hældning a = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²) = covarians(x,y)/varians(x). Skæring b = (Σy − a·Σx)/n = ȳ − a·x̄.

R² (determinationskoefficient): hvor godt linjen passer. R² = 1 − SS_res/SS_tot, hvor SS_res = Σ(yᵢ-ŷᵢ)² (residual sum), SS_tot = Σ(yᵢ-ȳ)² (total sum).

Skala 0-1: R² = 1 perfekt linær. R² ≥ 0,9 meget god pasform. R² 0,7-0,9 god. R² 0,5-0,7 middel. R² < 0,5 dårlig. R = √R² = korrelationskoefficient (-1 til 1). Pearson's r.

Eksempel: data om timer studeret (x) vs. karakter (y): {(2,4), (4,6), (6,8), (8,10)}. Regression: a = 1, b = 2. y = x + 2. R² = 1,0 (perfekt).

VIGTIGT — korrelation ≠ kausalitet: høj R² betyder IKKE at x forårsager y. Klassisk: issalg + drukneulykker korrelerer — fælles tredje variabel: sommer-vejr.

Linearisering af eksponentiel: y = b·a^x → log y = log b + x·log a. Lineær i log-y vs. x.

Linearisering af potens: y = b·x^a → log y = log b + a·log x. Lineær i log-y vs. log x.

CAS: WordMat regression(...), GeoGebra FitLine[points], Excel =LINEST eller =SLOPE/INTERCEPT.

Klassisk eksamenstype: givet datasæt → find regression + R² → vurdér model + ekstrapolér.

Klassiske fejl

ekstrapolering ud over data-rækkevidde, overse outliere, blind tillid til R².

Anvendelse

økonomi (sammenhæng sa

Læringsmål

• Bruge mindste kvadraters metode til at finde regressionslinjen y = a·x + b
• Beregne og fortolke R² som mål for hvor godt en lineær model passer til data
• Forklare forskellen på korrelation og kausalitet med et konkret eksempel (issalg/drukneulykker)
• Linearisere eksponentielle og potens-sammenhænge ved hjælp af log
• Bruge CAS til regression og vurdere om en model er egnet til ekstrapolation

Sådan kan du arbejde med emnet

• Indtast et datasæt i CAS og find regressionslinjens forskrift
• Forklar hvad det betyder, hvis R² = 0,95 for en lineær regression
• Brug en regressionslinje til at forudsige en y-værdi for en x-værdi uden for datasættet

Træningsforslag

• For datasættet {(2,4), (4,6), (6,8), (8,10)}: find regressionslinjen og R² i CAS, og fortolk hældningen.
• Forklar med eksemplet issalg/drukneulykker, hvorfor høj R² ikke beviser kausalitet.
• Linearisér et eksponentielt datasæt ved at tage log af y-værdierne, og lav derefter en lineær regression.
• Diskutér hvornår det er forsvarligt at bruge en regressionsmodel til at forudsige værdier uden for datasættet.

Brobygning

Lineær regression og R² er et af de mest eksamensrelevante emner og bruges også direkte i kategorien Modellering med CAS.