Beherske binomialfordeling (basisniveau)

Matematik B · STX · B-niveau · Statistik og sandsynlighed

🧮 Beherske binomialfordeling (basisniveau)

Binomialfordeling B(n, p) = sandsynlighedsfordeling for antal "successer" i n uafhængige forsøg, hvor hvert forsøg har sandsynlighed p for succes.

Klassisk eksempel — møntkast: kaste mønt 10 gange (n=10), sandsynlighed for plat (p=0,5). Hvad er sandsynligheden for præcis 6 plat?

Sandsynlighedsfunktion: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k), hvor C(n,k) = "n vælg k" = n!/(k!(n-k)!).

Forventning + varians: E(X) = n·p (gennemsnit). Var(X) = n·p·(1-p). Std-afvigelse σ = √(n·p·(1-p)).

Eksempel-beregning: n=10, p=0,5, k=6. P(X=6) = C(10,6)·0,5⁶·0,5⁴ = 210·0,015625·0,0625 = 0,205. Sandsynligheden er 20,5%.

CAS: WordMat binomdist(k, n, p), GeoGebra BinomialDist, Excel =BINOM.FORDELING(k, n, p, FALSK). Forudsætninger for binomialfordeling:

1. n forsøg er forudbestemt.

2. Hvert forsøg har KUN to udfald (succes/ikke-succes).

3. Sandsynligheden p er KONSTANT for hvert forsøg.

4. Forsøgene er UAFHÆNGIGE.

Eksempler — binomial-anvendelse:

• (a) Møntkast.
• (b) Antal piger blandt 100 nyfødte (n=100, p≈0,49).
• (c) Antal røde kort i 13-korts hånd? IKKE binomial — uden tilbagelægning gør forsøgene afhængige (skal bruge hypergeometrisk fordeling).
• (d) Quality control: antal defekte i batch.
• (e) Klinisk forsøg: antal helbredte patienter.

Hypotesetest: er p større end forventet? Tæl k successer i n forsøg. Beregn p-værdi.

Normaltilnærmelse: når n stor (np ≥ 10 og n(1-p) ≥ 10), kan binomial tilnærmes med normalfordeling N(np, np(1-p)). **Klassisk

Læringsmål

• Genkende de fire forudsætninger for en binomialfordeling B(n,p)
• Beregne P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)
• Beregne forventning E(X) = n·p og varians Var(X) = n·p·(1−p)
• Anvende normaltilnærmelsen til binomialfordelingen når np ≥ 10 og n(1−p) ≥ 10
• Skelne binomial- fra hypergeometrisk fordeling (med/uden tilbagelægning)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn sandsynligheden for præcis 3 "seksere" i 10 kast med en terning ved binomialformlen
• Forklar, hvad parametrene n og p i en binomialfordeling betyder
• Beregn middelværdi og standardafvigelse for en binomialfordeling med n = 20 og p = 0,4

Træningsforslag

• Beregn P(X=6) for B(10, 0,5) — sandsynligheden for præcis 6 plat ud af 10 møntkast.
• Beregn E(X) og Var(X) for antal piger blandt 100 nyfødte (n=100, p≈0,49).
• Forklar hvorfor "antal røde kort i en 13-korts hånd" ikke er binomialfordelt.
• Brug normaltilnærmelsen til at vurdere sandsynligheden for mindst 60 succeser i B(100, 0,5).

Brobygning

Binomialfordelingen er grundlaget for hypotesetest (er en mønt fair?) og kobler direkte til normalfordelingen i næste emne via normaltilnærmelsen.