Anvende lineær regression og R²

Matematik B · STX · B-niveau · Statistik og sandsynlighed

🧮 Anvende lineær regression og R²

Lineær regression = find den BEDSTE rette linje y = a·x + b der passer til datapunkter.

Mindste kvadraters metode (Gauss 1795): minimér Σ(yᵢ − (a·xᵢ + b))². Differentiér + sæt = 0 → giver formler for a + b. Hældning a = (n·Σxy - Σx·Σy)/(n·Σx² - (Σx)²) = covarians(x,y)/varians(x). Skæring b = (Σy - a·Σx)/n = ȳ − a·x̄.

Eksempel: data om timer studeret (x) vs. karakter (y): {(2,4), (4,6), (6,8), (8,10)}. Beregner: a = 1, b = 2. Ligning: y = x + 2.

R² (determinationskoefficient): hvor godt linjen passer. R² = 1 − SS_res/SS_tot, hvor SS_res = Σ(yᵢ-ŷᵢ)² (residual sum), SS_tot = Σ(yᵢ-ȳ)² (total sum).

Skala 0-1: R² = 1 perfekt linær. R² ≥ 0,9 meget god pasform. R² 0,7-0,9 god. R² 0,5-0,7 middel. R² < 0,5 dårlig — overvej anden model. R = √R² = korrelationskoefficient (-1 til 1). Pearson's r.

VIGTIGT — korrelation ≠ kausalitet: høj R² betyder IKKE at x forårsager y. Klassisk: issalg + drukneulykker korrelerer — fælles tredje variabel: sommer-vejr.

Linearisering af eksponentiel: y = b·a^x → ln y = ln b + x·ln a. Lineær i ln y vs. x.

Linearisering af potens: y = b·x^a → ln y = ln b + a·ln x. Lineær i ln y vs. ln x.

CAS: WordMat regression(...), GeoGebra FitLine[points], Excel =LINEST eller =SLOPE/INTERCEPT.

Klassisk eksamenstype: givet datasæt → find regression + R² → vurdér model + ekstrapolér.

Klassiske fejl

ekstrapolering ud over data-rækkevidde, overse outliere, blind tillid til R².

Anvendelse

økonomi (sammenhæng sa

Læringsmål

• Forstå mindste kvadraters metode og beregne hældning a og skæring b
• Beregne og fortolke R² (determinationskoefficienten)
• Diskutere korrelation vs. kausalitet ud fra konkrete eksempler
• Linearisere eksponentielle og potens-data ved logaritme-transformation
• Bruge CAS/Excel til regression og vurdere modelfit

Sådan kan du arbejde med emnet

• Lav en lineær regression på et lille datasæt med CAS og fortolk hældning og skæring
• Forklar, hvad R² måler, og hvad det vil sige, at R² = 0,95 for en regression
• Diskutér, hvornår en lineær regressionsmodel ikke er passende for et datasæt

Træningsforslag

• Find regressionslinjen for datasættet {(2,4), (4,6), (6,8), (8,10)}, og beregn R².
• Forklar hvorfor en høj R²-værdi ikke beviser kausalitet — brug eksemplet med issalg og drukneulykker.
• Linearisér et eksponentielt datasæt med ln y, og find a og b ud fra den lineariserede regression.
• Brug CAS til at finde regressionslinjen for et selvvalgt datasæt, og vurdér om en lineær model er passende ud fra R² og residualer.

Brobygning

Lineær regression og R² går igen når man skal vurdere modeller i Modellering-kategorien — og er en fast del af DP2-opgaver med datasæt.