Anvende normalfordeling og 68-95-99,7-reglen

Matematik B · STX · B-niveau · Statistik og sandsynlighed

🧮 Anvende normalfordeling og 68-95-99,7-reglen

Normalfordeling (Gauss-fordeling, "klokke-kurven") = klassisk kontinuert sandsynlighedsfordeling.

Form: symmetrisk klokke om middelværdien μ.

Parametre:

• (a) Middelværdi μ — toppunkt, centrum.
• (b) Standardafvigelse σ — spredning.

Tæthedsfunktion: f(x) = (1/(σ√(2π)))·e^(−(x−μ)²/(2σ²)).

Egenskaber

1. Symmetrisk om μ.

2. Asymptotisk mod 0 i begge ender.

3. Areal under hele kurven = 1 (= 100% sandsynlighed).

4. 50% af data er UNDER μ + 50% over.

68-95-99,7-reglen (empirisk regel): (a) ~68% af data ligger inden for ±1σ fra μ. (b) ~95% inden for ±2σ.

• (c) ~99,7% inden for ±3σ.

Eksempel — IQ: standardiseret til μ = 100, σ = 15.

• (a) 68% har IQ mellem 85-115.
• (b) 95% mellem 70-130.
• (c) 99,7% mellem 55-145.

Eksempel — højde af voksne mænd i DK: μ ≈ 181 cm, σ ≈ 7 cm.

• (a) 68% mellem 174-188 cm.
• (b) 95% mellem 167-195 cm.
• (c) 99,7% mellem 160-202 cm.

Eksempel — eksamensresultater: en eksamen har μ = 7, σ = 1,5.

• (a) 68% scorer mellem 5,5-8,5.
• (b) 95% mellem 4-10.
• (c) 99,7% mellem 2,5-11,5.

Z-score (standardiseret værdi): z = (x − μ)/σ. Måler "hvor mange standardafvigelser fra middel". (a) z = 0: ved middel. (b) z = +1: 1σ over middel. (c) z = -2: 2σ under middel.

Klassiske z-værdier + sandsynligheder (fra Z-tabel): (a) P(Z < 0) = 0,5. (b) P(Z < 1) = 0,8413. (c) P(Z < 1,96) = 0,975 (95% konfidens).

• (d) P(Z < 2,58) = 0,995 (99% konfidens).
• (e) P(Z < 3) = 0,9987.

Eksempel — beregning: en elev fik 90 i en test med μ = 75, σ

Læringsmål

• Beskrive normalfordelingens egenskaber: symmetri om μ, areal = 1, og rolle af σ
• Anvende 68-95-99,7-reglen til at bestemme andele af data inden for ±1σ, ±2σ, ±3σ
• Beregne og fortolke z-score z = (x − μ)/σ
• Bruge en Z-tabel til at finde sandsynligheder P(Z < z)
• Anvende normalfordelingen på eksempler som IQ, højde og eksamensresultater

Sådan kan du arbejde med emnet

• Forklar, hvad 68-95-99,7-reglen siger om normalfordelingen
• Beregn, hvilken andel af observationerne der falder inden for to standardafvigelser fra middelværdien
• Brug normalfordelingen til at beregne sandsynligheden for en given observation med CAS

Træningsforslag

• For IQ med μ=100 og σ=15 — find andelen med IQ mellem 70 og 130 ved hjælp af 68-95-99,7-reglen.
• Beregn z-score for en elev der fik 90 i en test med μ=75 og σ=10, og fortolk resultatet.
• Brug en Z-tabel til at finde P(Z < 1,96), og forklar hvorfor denne værdi bruges ved 95% konfidensintervaller.
• For eksamensresultater med μ=7 og σ=1,5 — find intervallet hvor 95% af resultaterne ligger.

Brobygning

Normalfordelingen og z-score er forudsætningen for konfidensintervaller og hypotesetest på A-niveau, og 68-95-99,7-reglen bruges ofte til hurtige skøn i DP2-opgaver.