Vektorer (intro)

Matematik · 10. klasse · Geometri og måling

Vektorer (intro) ➡️

En vektor er en matematisk størrelse med LÆNGDE og RETNING — som en PIL. Vektorer er fundamentale i fysik, 3D-grafik og ingeniørvidenskab.

Vektor vs. skalar

Skalar: kun størrelse (fx 5 kg, 20 m)

Vektor: størrelse + retning (fx 5 m/s nordpå)

Skrivemåder

• Fed skrift: a
• Pil over: a⃗
• Koordinater: (3, 4) eller (3, 4, 5) i 3D

Koordinat-form

En vektor i 2D: v = (x, y)

En vektor i 3D: v = (x, y, z)

Eksempel: v = (3, 4) betyder 3 til højre, 4 op.

Vektor-operationer

Addition:

(3, 4) + (1, 2) = (3+1, 4+2) = (4, 6)

Subtraktion:

(5, 7) - (2, 3) = (3, 4)

Skalar-multiplikation:

2 × (3, 4) = (6, 8)

Negativ vektor:

-(3, 4) = (-3, -4) (samme længde, modsat retning)

Længde af vektor

```

|v| = √(x² + y²)

```

Eksempel: |(3, 4)| = √(9+16) = √25 = 5

Det er Pythagoras!

Enheds-vektor

En enheds-vektor har længde 1:

```

ê = v / |v|

```

Eksempel: (3, 4) / 5 = (0,6, 0,8)

Tjek: |0,6, 0,8| = √(0,36 + 0,64) = 1 ✓

Skalar-produkt (prikprodukt)

To vektorer giver et TAL (skalar):

```

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

```

Eksempel: (2, 3) · (4, 1) = 2×4 + 3×1 = 11

Geometrisk: a · b = |a| × |b| × cos(θ)

hvor θ er vinklen mellem vektorerne.

Vinklen mellem vektorer

```

cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|)

```

Ortogonale vektorer

To vektorer er ortogonale (vinkelrette) hvis:

```

a · b = 0

```

Eksempel: (3, 0) og (0, 5): prikprodukt = 0 → vinkelrette ✓

Anvendelse

Fysik:

• Kraft = vektor
• Hastighed = vektor
• Acceleration = vektor

3D-grafik og spil:

• Position af objekter
• Bevægelse af karakterer
• Belysning (lys-retning)

Ingeniørarbejde:

• Strukturanalyse
• Aerodynamik
• Elektromagnetisme

Vektor-diagrammer

Vektorer tegnes som PILE:

• Halen = startpunkt
• Spidsen = slutpunkt
• Længde = størrelse

Parallelogram-regel: sumvektor findes med parallelogram.

3D-vektorer

I 3D: v = (x, y, z)

Længde: |v| = √(x² + y² + z²)

Prikprodukt: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Der findes også KRYDS-PRODUKT i 3D (STX-niveau).

Forbered til STX

Vektorer er MEGET VIGTIGE på STX:

• Matematik B og A
• Fysik
• Senere: vektorer i funktioner, vektor-ligninger

Få grundforståelsen på plads på 10. klasse!

Læringsmål

• Forstå vektor som størrelse + retning
• Udføre vektor-operationer (addition, subtraktion, skalering)
• Beregne vektor-længde med Pythagoras
• Beregne skalar-produkt (prikprodukt)
• Finde vinkel mellem vektorer
• Identificere ortogonale vektorer (prikprodukt = 0)

Vektor-træning ➡️

Basis: Givet a = (3, 4) og b = (1, 2). Beregn a + b, a - b, 3a, |a|.

Prikprodukt: Beregn (2, 5) · (3, -1). Er vektorerne ortogonale?

Vinkel: Find vinklen mellem (1, 0) og (1, 1). (Tip: brug formlen med cos).