Pythagoras læresætning (a²+b²=c²)

Matematik · 7.-9. klasse · Geometri og måling

Pythagoras — den mest berømte sætning 📐

Pythagoras-sætningen er en af matematikens mest kendte sætninger. Den gælder i ENHVER retvinklet trekant.

Sætningen

I en retvinklet trekant:

```

a² + b² = c²

```

• a, b = kateterne (de to sider ved rette vinkel)
• c = hypotenusen (modstående rette vinkel — den LÆNGSTE side)

Visualisering

```

c

╱│

╱ │

╱ │ b

╱ │

╱____│

a

```

Kvadratet på c = kvadratet på a + kvadratet på b.

Eksempel-beregning

Find c hvis a = 3, b = 4:

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

c = √25 = 5

Find a hvis c = 13, b = 12:

a² = c² − b² = 169 − 144 = 25

a = √25 = 5

Berømte pythagoreiske tripler

Hele tal der opfylder a² + b² = c²:

```

(3, 4, 5)

(5, 12, 13)

(8, 15, 17)

(7, 24, 25)

(9, 40, 41)

(20, 21, 29)

```

Praktisk anvendelse

Diagonal af rektangel:

Rum med sider 3 m og 4 m → diagonal = √(9+16) = 5 m

Diagonal af TV:

16:9 TV 1 m bred → højde = 9/16 = 0,5625 m

Diagonal = √(1² + 0,5625²) ≈ 1,15 m (≈ 45 tommer)

Afstand mellem punkter:

Punkter (0,0) og (3,4) → afstand = 5

Historie

Sætningen er opkaldt efter Pythagoras (ca. 570-495 f.Kr.), men var kendt tidligere af babylonierne og egypterne. Pythagoras gav den et FORMELT BEVIS.

Tjek om trekant er retvinklet

Omvendt Pythagoras: Hvis a² + b² = c², så er trekanten retvinklet.

God til at checke på byggepladser!

Fælles fejl

• Forveksle a, b, c: c er ALTID den længste (hypotenusen)
• Glemme √: a² + b² = c² giver c², ikke c
• Bruge på ikke-retvinklet trekant: virker KUN på retvinklede

Læringsmål

• Kende Pythagoras-formlen a² + b² = c² udenad
• Finde hypotenusen når kateter kendes
• Finde en kateter når hypotenuse og den anden kateter kendes
• Genkende berømte pythagoreiske tripler (3-4-5, 5-12-13)
• Anvende i praktiske opgaver (diagonaler, afstande)
• Bruge kun i retvinklede trekanter

Pythagoras-træning 📐

Beregn: Find c hvis a = 6, b = 8. Find a hvis c = 10, b = 6.

TV-diagonal: En TV har bredde 1,2 m og højde 0,7 m. Find diagonalen.

3-4-5 test: Tjek om en trekant med sider 9, 12, 15 er retvinklet. (Brug omvendt Pythagoras.)