Ligedannethed (målforhold k → areal k², rumfang k³)

Matematik · 7.-9. klasse · Geometri og måling

Ligedannethed — samme form, forskellig størrelse 🔍

To figurer er ligedannede hvis de har SAMME FORM men forskellig STØRRELSE — som et billede forstørret eller formindsket.

Målforhold (k)

Målforholdet k er forholdet mellem SAMSVARENDE sider:

```

k = stor figur side / lille figur side

```

Eksempel: Lille trekant har side 2 cm, stor trekant har samsvarende side 6 cm.

→ k = 6/2 = 3

De 3 skaleringsregler

Når to figurer er ligedannede med målforhold k:

Sider: skalerer med k

Areal: skalerer med k²

Rumfang: skalerer med k³

Eksempel: dobbelt så stor

Hvis k = 2:

• Sider: 2× større
• Areal: 4× større (2² = 4)
• Rumfang: 8× større (2³ = 8)

Eksempel: tredobbelt

Hvis k = 3:

• Sider: 3× større
• Areal: 9× større
• Rumfang: 27× større

Hverdagseksempler

Pizza: Dobbelt så stor diameter (k=2) → 4× så meget pizza! Det er derfor en stor pizza ikke er 2× dyrere end en lille.

Bonsai-træ: Lille træ der ligner et stort — samme form.

Landkort: Målestok 1:100.000 → k = 1/100.000 for sider.

Ligedannede trekanter

To trekanter er ligedannede hvis:

• Alle VINKLER er ens
• Eller alle SIDER er proportionale

Brug til at finde ukendte sider

Eksempel: Hvis k = 3 og lille side er 5 cm, så er stor side 15 cm.

Pas på

• Areal ≠ sider² for forskellige figurer — kun ligedannede
• k < 1 betyder formindskelse (fx k = 0,5 = halv)
• Ligedannet ≠ kongruent (kongruent = samme STØRRELSE også)

Læringsmål

• Genkende ligedannede figurer ved samme form
• Beregne målforhold k mellem to ligedannede figurer
• Anvende k² for areal-skalering
• Anvende k³ for rumfang-skalering
• Finde ukendte sider ved hjælp af målforhold
• Forstå at ligedannet ikke er samme som kongruent

Ligedannetheds-eksempler 🔍

Pizza-test: Dobbelt så stor diameter = 4× så meget areal. Sammenlign priser på lille og stor pizza — er den store 4× dyrere?

Jordkugle-model: En globus har diameter 30 cm. Jorden har diameter ca. 12.742 km. Hvad er målforholdet?

Areal-beregning: Hvis to ligedannede kvadrater har sider 4 og 12, hvad er forholdet mellem deres arealer?