Logaritmer (log, ln) — basisniveau

Matematik C · STX · C-niveau · Tal og symbolsk regning

🧮 Logaritmer (log, ln) — basisniveau

Logaritme = den OMVENDTE operation af en eksponential. Hvis a^y = x, så log_a(x) = y. Læs: "logaritmen til x med grundtal a".

2 hovedlogaritmer på Mat C:

1. log(x) = log₁₀(x) — den dekadiske (titalogaritme).

2. ln(x) = log_e(x) — den naturlige logaritme, grundtal e ≈ 2,71828.

Sammenhæng med potens: log(1000) = 3 fordi 10³ = 1.000. ln(e) = 1 fordi e¹ = e.

Standardværdier: log(1) = 0. log(10) = 1. log(100) = 2. log(0,1) = -1. log(1.000.000) = 6. ln(1) = 0. ln(e) = 1. ln(e²) = 2.

Logaritme-regler:

1.

Produkt-regel: log(a·b) = log(a) + log(b).

2.

Kvotient-regel: log(a/b) = log(a) − log(b).

3.

Potens-regel: log(a^n) = n·log(a).

4.

Skift af grundtal: log_a(x) = log(x)/log(a) eller ln(x)/ln(a).

Eksempler — beregninger:

1. log(100·1.000) = log(100) + log(1.000) = 2 + 3 = 5.

2. log(2⁸) = 8·log(2) = 8·0,301 = 2,408.

3. log(50) = log(100/2) = log(100) − log(2) = 2 − 0,301 = 1,699.

Anvendelser

1.

Løse eksponential-ligninger: a^x = c → x = log(c)/log(a).

Eksempel — fordoblingstid: bakterier vokser ifølge N(t) = 100·2^t (t i timer). Hvornår er N = 1.000? 1.000 = 100·2^t → 2^t = 10 → t = log(10)/log

2. = 1/0,301 = 3,32 timer.

Halveringstid for radioaktivt henfald: N(t) = N₀·(1/2)^(t/T½). Eks: 80 mg I-131 (T½ = 8 dage). Hvornår er det 5 mg? 5 = 80·(1/2)^(t/8) → (1/2)^(t/8) = 1/16 → t/8 = 4 → t = 32 dage. (2)

Energi-skala (decibel + Richter-skala): skalaer der sammenligner over store områder bruger LOGA

Læringsmål

• Forstå logaritmen som den omvendte operation af eksponentiering: a^y = x ⟺ log_a(x) = y
• Skelne mellem log (titalslogaritme) og ln (naturlig logaritme)
• Anvende logaritmeregler: produkt-, kvotient- og potens-reglen
• Løse eksponentielle ligninger a^x = c ved at isolere x med logaritme
• Beregne fordoblings- og halveringstid ved hjælp af logaritmer

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn log(100) og log(1000) uden lommeregner og forklar mønstret
• Brug en logaritme til at finde x, hvis 10^x = 50
• Forklar forskellen mellem log og ln, og hvornår man typisk bruger hvilken

Træningsforslag

• Beregn log(100·1.000) ved hjælp af produktreglen, og kontrollér med CAS.
• Løs ligningen 2^x = 10 ved hjælp af logaritmer, og forklar hvert trin.
• Beregn hvor lang tid det tager bakterier (N(t) = 100·2^t) at nå 1.000, ved at bruge logaritmer.
• En radioaktiv kilde på 80 mg har halveringstid 8 dage — beregn hvornår kun 5 mg er tilbage.

Brobygning

Logaritmer bruges direkte til at beregne fordoblings- og halveringstid i kategorien Funktioner og grafer, og til at linearisere data ved regression.