Vinkel mellem vektorer

Matematik A · STX · A-niveau · Vektorer i 2D og 3D

🧮 Vinkel mellem vektorer

At finde vinklen mellem to vektorer er en af lineær algebras mest brugte beregninger — og fundamentet for machine learning, fysik, computergrafik og navigation.

Cosinusformlen

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Hvor:

• a·b = skalarproduktet
• |a|, |b| = vektorlængderne
• θ = vinklen mellem dem (0° til 180°)

Derefter: $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Procedure trin-for-trin

1. Beregn skalarprodukt a·b

2. Beregn længder |a| og |b|

3. Indsæt i formel

4. Beregn θ = arccos(resultatet)

Konkret eksempel — 2D

Lad a = (3, 4) og b = (1, 0).

Skalarprodukt: a·b = 3·1 + 4·0 = 3

Længder: |a| = √(9+16) = 5, |b| = √1 = 1

Cosinus: cos θ = 3/(5·1) = 0,6

Vinkel: θ = arccos(0,6) ≈ 53,13°

Specialtilfælde

#### Vinkelret (orthogonal)

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \cos \theta = 0 \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Skalarprodukt = 0 betyder altid 90° vinkel.

#### Parallelle vektorer

• Samme retning (θ = 0°): a·b = +|a|·|b|
• Modsat retning (θ = 180°): a·b = -|a|·|b|
• Algebrai: ∃ k ∈ ℝ så a = k·b

#### Spids vs. stump vinkel

| cos θ | Vinkel |

|---|---|

| > 0 | Spids (< 90°) |

| = 0 | Ret (= 90°) |

| < 0 | Stump (> 90°) |

| = -1 | Modsatret (= 180°) |

Vinkel mellem linjer

For to linjer (ikke vektorer) bruges samme formel med absolut værdi:

$$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Fordi linjer er uorienterede, ligger vinklen mellem linjer altid i [0°, 90°].

I 3D

Formlen er identisk — bare med 3D-skalarprodukt og længder:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

Formlen virker faktisk i alle dimensioner — også 100D-rum i maskinlæring!

Anvendelser

#### Fysik

• Refleksion: indfaldsvinkel = udfaldsvinkel (måles fra normalvektoren)
• Friktion: vinkel mellem kraftvektor og overflade
• Arbejde: W = F·s·cos θ
• Magnetisk flux: B·A·cos θ

#### Geografi og navigation

• Terrains-hældning: vinkel mellem terrænvektor og vandret
• Vindretning vs. flyets kurs
• Solens vinkel over horisonten
• Skyggevinkler ved bygnings-design

#### Machine learning — Kosinus-lighed

Cosine similarity måler hvor "ens" to feature-vektorer er:

$$\text{similarity} = \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Resultatet er mellem -1 og 1:

• 1: identisk
• 0: helt forskellige
• -1: modsatte

Bruges til:

• Søgemaskiner (TF-IDF-vektorer)
• Anbefalingssystemer (Netflix, Spotify)
• Word embeddings (Word2Vec, BERT)
• Billedgenkendelse

#### Computergrafik

• Lyssætning: hvor stærkt rammer lyset overfladen?
• Skygger: vinkel mellem lys og normalvektor
• 3D-rotationer

Tekniske bemærkninger

#### arccos vs. atan2

arccos giver kun vinkler i [0°, 180°] — vi mister informationen om om vinklen er positiv eller negativ.

For orienterede vinkler (med fortegn) bruges:

• atan2(y, x) funktionen
• Krydsprodukt for at bestemme orientering i 3D

#### Numerisk præcision

Ved små vinkler kan arccos give numerisk fejl — brug i stedet:

$$\theta = \arctan\left(\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)$$

Almindelige fælder

• ❌ Glemme |a|·|b| i nævneren
• ❌ Bruge arccos uden at huske den er begrænset til [0°, 180°]
• ❌ Forveksle vinkel mellem linjer og mellem vektorer
• ❌ Bruge grader/radianer inkonsekvent

Vidste du at...

🤖 ChatGPT og lignende sprogmodeller bruger kosinus-lighed i 1500+-dimensionalt rum til at finde lignende tekster. Vinkelberegninger er essentielle for moderne AI!

📡 GPS-satellitter beregner din position vha. vinkler mellem signaler — ren vektor-matematik.

🎮 I 3D-spil beregnes der titusinder af vinkler pr. frame — for lys, fysik og objekt-interaktion.

Læringsmål

• Anvende cosinusformlen cosθ = (a·b)/(|a||b|) til at finde vinklen mellem to vektorer
• Gennemføre udregningen i fire trin: skalarprodukt, længder, cosinus, arccos
• Genkende specialtilfælde: vinkelret (a·b=0), parallel (samme/modsat retning)
• Beregne vinklen mellem to linjer med absolut værdi (resultat altid 0°-90°)
• Forklare cosine similarity som et eksempel på vinkelberegning i maskinlæring

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn vinklen mellem vektorerne (1,0) og (1,1)
• Brug skalarproduktet til at afgøre, om to vektorer er ortogonale
• Forklar formlen for vinklen mellem to vektorer med dine egne ord

Træningsforslag

• Find vinklen mellem a=(3,4) og b=(1,0) ved at gennemføre alle fire trin.
• Afgør om vinklen mellem to givne vektorer er spids, ret eller stump uden at beregne arccos — kun ud fra fortegnet af a·b.
• Beregn vinklen mellem to linjer med retningsvektorer (1,2) og (3,−1), husk absolut værdi.
• Forklar med egne ord, hvorfor cosine similarity bruges til at sammenligne tekster i søgemaskiner.

Brobygning

Vinkelberegning binder skalarprodukt og determinant sammen og genbruges direkte i 3D, hvor krydsprodukt og plan-vinkler bygger på samme cosinus-/sinus-principper.