Vektorer i planen — længde, sum, skalarprodukt

Matematik A · STX · A-niveau · Vektorer i 2D og 3D

🧮 Vektorer i planen

En vektor er et matematisk objekt med både længde og retning. Vektorer er fundamentale i fysik, computergrafik, maskinlæring og navigation. De repræsenteres som "pile" eller som talkoordinater.

Repræsentation

I 2D-planen skrives en vektor som a = (a₁, a₂) hvor a₁ og a₂ er koordinaterne.

Geometrisk: en pil fra origo (0,0) til punktet (a₁, a₂).

Længde af en vektor

Længden (også kaldet normen) beregnes med Pythagoras:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$

Eksempel: |(3, 4)| = √(9+16) = √25 = 5

Vektoraritmetik

#### Sum (parallelogram-reglen)

$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)$$

Geometrisk: læg pilene i forlængelse af hinanden, eller brug parallelogram-reglen.

#### Differens

$$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1,\ a_2 - b_2)$$

Vektor fra A til B: $\overrightarrow{AB} = B - A$

#### Skalarmultiplikation

$$k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1,\ k \cdot a_2)$$

| k | Effekt |

|---|---|

| k > 1 | Strækker vektoren |

| 0 < k < 1 | Forkorter vektoren |

| k = 1 | Uforandret |

| k < 0 | Vender retning, ændrer længde |

| k = -1 | Modsatrettet, samme længde |

Skalarprodukt (prikprodukt)

Algebraisk definition:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$

Geometrisk definition:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$$

Hvor θ er vinklen mellem vektorerne.

#### Egenskaber

• Kommutativ: a·b = b·a
• Distributiv: a·(b+c) = a·b + a·c
• Skalarmultiplikation: (ka)·b = k(a·b)
• Selvdotprodukt: a·a = |a|²

Anvendelser af skalarprodukt

#### Vinkelret-test

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Et af de vigtigste resultater — det er hvordan vi tester ortogonalitet i alle dimensioner.

#### Vinkel mellem vektorer

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Hvorefter θ = arccos(...).

#### Projektion

Projektionen af a på b:

$$\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}$$

Længden af projektionen: a·b/|b|.

Determinant og areal

For 2D-vektorer som søjler i en matrix:

$$\det(\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_2 - a_2 b_1 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \theta$$

Determinanten har en smuk geometrisk fortolkning:

• |det| = arealet af parallelogrammet udspændt af a og b
• Fortegn angiver orientering (positiv = mod uret)

Konkrete beregninger

Lad a = (3, 4) og b = (1, -2).

Længder:

• |a| = √25 = 5
• |b| = √5

Sum: a + b = (4, 2)

Skalarprodukt: a·b = 3·1 + 4·(-2) = 3 - 8 = -5

Vinkel: cos θ = -5/(5·√5) = -1/√5 ≈ -0,447

θ ≈ 117° (stump vinkel)

Determinant: det(a,b) = 3·(-2) - 4·1 = -10

Arealet er |−10| = 10 enheder².

Anvendelser i den virkelige verden

#### Fysik

• Kraftvektorer (Newtons love)
• Hastighedsvektorer
• Acceleration
• Elektriske felt-vektorer

#### Computergrafik

• 3D-objekter repræsenteres med vektorer
• Lyssætning: vinkler mellem lys og overflade
• Game physics: kollisioner

#### Machine Learning

• Features repræsenteres som vektorer i højdimension
• Cosinus-lighed (skalarprodukt!) bruges til at sammenligne dokumenter
• Embedding af ord, billeder

#### GPS-navigation

• Positionsvektorer
• Retningsvektorer
• Triangulering med flere satellitter

Almindelige fælder

• ❌ Forveksle skalarprodukt og vektorprodukt (cross product)
• ❌ Glemme at skalarprodukt er et tal, ikke en vektor
• ❌ Misforstå negativ skalarprodukt (stumpvinkel)
• ❌ Glemme |a|·|b| i vinkelformlen

Vidste du at...

📐 Begrebet vektor kommer fra latinske vector = "bærer" — fra astronomi hvor det betød "linjen fra planet til sol".

🧠 Moderne AI/ML repræsenterer alt som vektorer i høj-dimensionale rum (typisk 500-2000 dimensioner). Disse rum er for komplekse til at visualisere — men matematikken er den samme som 2D!

🎮 3D-spil bruger millioner af vektor-beregninger pr. sekund — hver pixel på din skærm involverer skalarprodukter.

Læringsmål

• Beregne en vektors længde og udføre sum, differens og skalarmultiplikation
• Beregne skalarproduktet både algebraisk (a₁b₁+a₂b₂) og geometrisk (|a||b|cosθ)
• Anvende vinkelret-testen a·b = 0
• Beregne projektionen af én vektor på en anden
• Anvende vektorer til at løse problemer i fysik og navigation

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn længden af vektoren (3,4)
• Beregn summen og skalarproduktet af vektorerne (1,2) og (3,-1)
• Forklar hvad det betyder geometrisk, hvis skalarproduktet af to vektorer er 0

Træningsforslag

• Beregn |a|, a+b, a·b og vinklen mellem a=(3,4) og b=(1,−2).
• Tjek om vektorerne (2,3) og (−6,4) er vinkelrette ved at beregne skalarproduktet.
• Find projektionen af a=(3,4) på b=(1,0) og illustrér det geometrisk.
• Beregn vektoren AB for A=(1,2) og B=(5,−1), og find dens længde.

Brobygning

Vektorregning i planen er fundamentet for alt videre arbejde med determinanter, vinkler og 3D-vektorer — og bruges direkte i fysik (kraft, hastighed) og maskinlæring (feature-vektorer).