Separable differentialligninger

Matematik A · STX · A-niveau · Differentialligninger

🧮 Separable differentialligninger

Separabel ligning: dy/dx = g(x)·h(y) — kan separeres til formen dy/h(y) = g(x)·dx.

Procedure:1. Adskil variable.

2. Integrer begge sider.

3. Løs for y (om muligt).

4. Anvend begyndelsesbetingelsen.

Eksempel: dy/dx = xy. dy/y = x dx → ln|y| = x²/2 + C → y = A·e^(x²/2).

Eksempel 2 (logistisk): dy/dx = ky(M − y). dy/(y(M−y)) = k dx. Partialbrøker: 1/(y(M−y)) = (1/M)·(1/y + 1/(M−y)). Integrer: (1/M)·[ln|y| − ln|M−y|] = kx + C. Løs for y → y(t) = M / (1 + A·e^(−Mkt)) (logistisk vækst, S-kurve).

Eksempel 3: Henfald dy/dt = −ky → y = y₀·e^(−kt). Vækst dy/dt = ky → y = y₀·e^(kt).

Anvendelser: befolkningsvækst (logistisk for begrænsede ressourcer), epidemier (SIR-model), kemiske reaktioner, klima-modeller (energibalance).

CAS: kan løse symbolsk eller numerisk.

Vidste du at...

🦠 SIR-modellen (Susceptible-Infected-Recovered) bruges af WHO til at modellere alle epidemier — fra COVID til pest.

📐 Separable differentialligninger er den letteste type at løse — derfor lærer vi dem først.

💡 Lotka-Volterra-ligninger (rovdyr-bytte) er differentialligninger — opfundet 1925, stadig brugt i økologi.

Læringsmål

• Genkende og separere ligninger på formen dy/dx = g(x)·h(y)
• Løse separable differentialligninger ved at integrere begge sider
• Anvende begyndelsesbetingelser til at bestemme integrationskonstanten C
• Udlede den logistiske løsning y(t) = M/(1+A·e^(−Mkt)) ved partialbrøksopløsning
• Modellere henfald og vækst (dy/dt = ±ky) med separable ligninger

Sådan kan du arbejde med emnet

• Løs differentialligningen y-mærke = 2xy ved separation af de variable
• Forklar trinene i metoden separation af de variable
• Find den partikulære løsning til en separabel differentialligning med en given startbetingelse

Træningsforslag

• Løs dy/dx = xy med begyndelsesbetingelse y(0) = 2.
• Vis at løsningen til dy/dt = −ky med y(0) = y₀ er y = y₀·e^(−kt) ved separation og integration.
• Udled selv den logistiske løsning fra dy/dx = ky(M − y) ved hjælp af partialbrøksopløsning.
• Brug en separabel ligning til at modellere afkøling af en kop kaffe — hvilken information mangler for at finde k?

Brobygning

Separation af variable er den grundlæggende teknik i kategorien — de næste tre emner bygger videre med integrerende faktor, vækstmodeller og fysiske anvendelser, ofte med tværfaglig kobling til fysik og kemi i SRP.