Lineære 1. ordens differentialligninger

Matematik A · STX · A-niveau · Differentialligninger

🧮 Lineære 1. ordens differentialligninger

Differentialligning = ligning med ukendt funktion + dens afledede.

Lineær 1. orden: y' + p(x)·y = q(x).

Løsning via integrerende faktor: μ(x) = e^(∫p(x)dx). Multiplicér: μy' + μpy = μq → (μy)' = μq → y = (1/μ)·∫μ·q dx.

Specialtilfælde: homogen (q = 0): y' = −p(x)·y → y = C·e^(−∫p dx).

Konstante koefficienter: y' + ay = b. Løsning y = (b/a) + C·e^(−ax).

Eksempler: Newtons afkølingslov: dT/dt = −k(T − T_omg). Løsning: T(t) = T_omg + (T₀ − T_omg)·e^(−kt).

RC-kredsløb: dQ/dt + Q/(RC) = U₀/R.

Radioaktivt henfald: dN/dt = −λN. Løsning: N(t) = N₀·e^(−λt), halveringstid T½ = ln 2/λ. Begyndelsesbetingelse y(x₀) = y₀ bestemmer integrationskonstanten C.

CAS: dsolve i Maple, NDSolve i Mathematica, eller manuelt med separation.

Tjek: indsæt fundet løsning i ligningen — skal opfyldes identisk.

Vidste du at...

☕ Newtons afkølingslov (1701) er én af fysikkens ældste differentialligninger — bruges til alt fra retsmedicin (tidspunkt for død) til kaffekopper!

☢️ Radioaktivt henfald følger samme matematik som afkøling — derfor er C-14-datering mulig.

📜 Newton og Leibniz udviklede uafhængigt differentialligninger i 1600-tallet — uden hinanden!

Læringsmål

• Genkende formen y' + p(x)·y = q(x) for en lineær 1. ordens differentialligning
• Beregne integrerende faktor μ(x) = e^(∫p(x)dx) og anvende den til løsning
• Løse homogene ligninger og ligninger med konstante koefficienter
• Anvende Newtons afkølingslov og RC-kredsløb som eksempler
• Verificere en løsning ved at indsætte den i den oprindelige ligning

Sådan kan du arbejde med emnet

• Løs differentialligningen y-mærke + y = x ved hjælp af en integrerende faktor
• Forklar hvad det betyder, at en differentialligning er lineær af 1. orden
• Find den fuldstændige løsning til en lineær 1. ordens differentialligning og identificér den homogene og partikulære del

Træningsforslag

• Find integrerende faktor for y' + 2y = 4 og løs ligningen.
• En kop kaffe på 90°C stilles i et lokale på 20°C med k = 0,1 — beregn temperaturen efter 10 minutter med Newtons afkølingslov.
• Løs den homogene ligning y' = −3y, og sammenlign løsningsmetoden med separation af variable fra forrige emne.
• Verificér løsningen til y' + y = eˣ ved at indsætte den i ligningen.

Brobygning

Den integrerende faktor er en udvidelse af separationsteknikken til ligninger der ikke er separable — og Newtons afkølingslov er et klassisk SRP-eksempel med kobling til fysik (varmetransport) og retsmedicin.