Lorentz-faktor γ = 1/√(1−v²/c²)

Fysik A · STX · A-niveau · Relativitetsteori

⚛️ Lorentz-faktor γ = 1/√(1−v²/c²)

Lorentz-faktoren γ = central størrelse i speciel relativitet.

Formel: γ = 1/√(1 - v²/c²) = 1/√(1 - β²), hvor β = v/c.

Egenskaber

1. Når v = 0: γ = 1.

2. Når v → c: γ → ∞.

3. Altid γ ≥ 1.

4. For v << c: γ ≈ 1 + ½(v/c)² + ... (binomial-rækkeudvikling).

Numeriske værdier: v=0,1c → γ=1,005. v=0,5c → γ=1,155. v=0,87c → γ=2,03. v=0,9c → γ=2,29. v=0,99c → γ=7,09. v=0,999c → γ=22,4. v=0,9999c → γ=70,7.

Lorentz-faktoren optræder i alle relativistiske ligninger: tids-dilation Δt = γΔt₀, længde-kontraktion L = L₀/γ, relativistisk masse m = γm₀ (omdiskuteret notation), relativistisk impuls p = γm₀v, total energi E = γm₀c².

Hvor er γ stor i naturen?: kosmiske myoner (γ ~ 10), partikler ved CERN (γ ~ 7000 for protoner i LHC), kosmiske stråler (γ op til 10¹¹).

Hvor er γ ubetydelig?: hverdagens hastigheder. Bil ved 100 km/t (28 m/s): γ = 1 + 4·10⁻¹⁵. Næsten umuligt at måle.

Hvorfor c²? — geometrisk fortolkning: rumtidens metrik er ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² (Minkowski-rummet). Lorentz-transformation er rotation i (ct, x)-planet.

Galilei-transformation som klassisk grænse: når v << c → γ → 1 → tid og længde uændret.

Hafele-Keating-eksperiment 1971: atomure i fly fløjet rundt verden — viste tidsdilation. Kosmisk myon i atmosfæren: dannet 15 km højde, henfaldstid 2,2 μs i hvile. I lyshastighed kun 660 m. Tæller alligevel myoner ved jorden — pga. γ ~ 10.

GPS: satellit-ure korrigeres for relativitet (38 μs/dag forskel mellem satellit-tid og jordens tid).

Læringsmål

• Forstå Einsteins postulater
• Beregne tids-dilation og længde-kontraktion
• Anvende Lorentz-faktor γ
• Anvende E = mc² og total relativistisk energi

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn Lorentz-faktoren for et objekt, der bevæger sig med en given hastighed
• Forklar, hvad der sker med Lorentz-faktoren, når hastigheden nærmer sig lysets hastighed
• Diskutér, hvorfor Lorentz-faktoren altid er større end eller lig med 1

Eksperiment-forslag

• Lav en tabel og graf over γ som funktion af v/c (fra 0 til 0,9999c), og diskuter hvorfor grafen "eksploderer" nær v = c.
• Brug binomial-tilnærmelsen γ ≈ 1 + ½(v/c)² til at vise, hvorfor relativistiske effekter er umålelige ved hverdagshastigheder som biler og fly.
• Beregn γ for protoner i LHC (γ ~ 7000) og diskuter, hvad det betyder for protonernes "oplevede" levetid og energi.

Brobygning

Lorentz-faktoren γ optræder også i formlen for total relativistisk energi E = γmc² — som leder direkte til Einsteins mest berømte ligning. Næste emne er 'Masse-energi-ækvivalens E = mc²'.