Udfaldsrum og tællemåder

Matematik · 7.-9. klasse · Statistik og sandsynlighed

Udfaldsrum og tællemåder 📋

For at beregne sandsynligheder er det VIGTIGT at vide HVOR MANGE udfald der er.

Udfaldsrum (Ω)

Udfaldsrummet = mængden af ALLE mulige udfald af et eksperiment.

Notation: Ω eller S

Eksempler:

• Mønt: Ω = {K, P}
• Terning: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 2 mønter: Ω = {KK, KP, PK, PP}
• Farve på kort: Ω = {spar, hjerter, ruder, klør}

Sandsynligheds-formel

Når alle udfald er lige sandsynlige:

```

P(hændelse) = antal gunstige udfald / antal udfald i Ω

```

Eksempel 1: terning

Hvad er P(slå lige tal)?

• Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6
• Gunstige: {2, 4, 6}, antal = 3
• P(lige) = 3/6 = 1/2

Eksempel 2: 2 mønter

Hvad er P(mindst én krone)?

• Ω = {KK, KP, PK, PP}, |Ω| = 4
• Gunstige (mindst én K): {KK, KP, PK}, antal = 3
• P(mindst én K) = 3/4

Eksempel 3: kortspil

Hvad er P(træk et billedkort)?

• Ω = 52 kort
• Billedkort: knægt, dronning, konge i hver af 4 farver = 12
• P(billede) = 12/52 = 3/13

Tællemetoder

Liste-metoden:

LISTE alle udfald. Virker for små Ω.

Eksempel: 2 mønter = {KK, KP, PK, PP}

Tabel:

Brug tabel til at organisere.

Eksempel: 2 terninger:

```

1 2 3 4 5 6

1 11 12 13 14 15 16

2 21 22 23 24 25 26

...

```

|Ω| = 36 udfald.

Multiplikationsprincip:

Hvis A har m muligheder og B har n: samlet = m × n.

Træstruktur:

God til at vise SAMMENSATTE eksperimenter.

Eksempel: 2 terninger

Ω har 36 udfald (6 × 6).

P(sum = 7)?

Mulige sum-7 udfald:

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 udfald

P(sum 7) = 6/36 = 1/6

Eksempel: trække 2 kort

Med tilbagelæggelse (første kort lægges tilbage):

• Hvert træk: 52 muligheder
• Samlet: 52 × 52 = 2704

Uden tilbagelæggelse:

• Første træk: 52
• Andet træk: 51 (ét kort mangler)
• Samlet: 52 × 51 = 2652

Specifikke tællemetoder

Permutation (ordnede valg): n × (n-1) × (n-2) × ... = n!

Eksempel: 5 bøger i en hylde. Antal rækkefølger = 5! = 120

Kombination (uordnede valg):

```

C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)

```

Eksempel: Vælge 3 venner ud af 10 = C(10, 3) = 120

Fold-kort og spil

Yatzy (5 terninger):

Ω har 6⁵ = 7776 udfald!

Poker-hånd (5 kort):

C(52, 5) = 2.598.960 mulige hænder

Lotto (6 ud af 36 + 1 joker):

Meget stort udfaldsrum → meget lille sandsynlighed for at vinde

FP9-anvendelse

Ved FP9 ser du ofte:

• "Hvilke udfald er i Ω?"
• "Hvor mange udfald?"
• "Hvad er sandsynligheden?"
• Bruge multiplikationsprincip og kombinatorik

Læringsmål

• Forstå udfaldsrummet Ω som alle mulige udfald
• Beregne sandsynlighed som gunstige/mulige
• Liste udfald for simple eksperimenter (mønter, terninger)
• Bruge tabel til at organisere sammensatte eksperimenter
• Anvende multiplikationsprincip til at tælle
• Skelne permutation og kombination

Tæl-udfordring 📋

2 terninger: Lav en tabel over alle 36 udfald. Beregn P(sum 7), P(sum 12), P(begge 6).

Outfit-kombinationer: Du har 4 t-shirts og 3 bukser. Hvor mange outfits? Brug multiplikationsprincip.

Kortspil: Beregn P(træk en konge), P(træk en rød kort), P(træk et kort under 5) fra et standard 52-korts spil.