Sandsynlighedsmodeller

Matematik · 10. klasse · Statistik og sandsynlighed

Avancerede sandsynlighedsmodeller 🎲

Ud over simple udfald findes der FORMELLE SANDSYNLIGHEDSMODELLER der beskriver klasser af fænomener.

Binomialfordeling

Beskriver gentagne uafhængige forsøg med 2 udfald (succes/fiasko).

Parametre:

• n = antal forsøg
• p = sandsynlighed for succes

P(k successer):

```

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

```

hvor C(n,k) er binomialkoefficient (n over k).

Eksempel: mønt

Kast mønt 10 gange. P(nøjagtigt 6 krone)?

• n = 10, p = 0,5, k = 6
• C(10, 6) = 210
• P = 210 × 0,5⁶ × 0,5⁴ = 210 × 0,5¹⁰ = 210/1024 ≈ 0,205

Middelværdi og varians

For binomial:

• μ = np
• σ² = np(1-p)

Normalfordeling

Den berømte klokkekurve — beskriver MANGE naturlige fænomener.

Parametre:

• μ (middelværdi)
• σ (standardafvigelse)

Egenskaber:

• Symmetrisk om μ
• 68 % inden for 1σ
• 95 % inden for 2σ
• 99,7 % inden for 3σ

Hvad er normalfordelt?

Naturlige:

• Højder (≈ N(170, 10) for voksne)
• Vægt
• IQ (N(100, 15))
• Målefejl
• Fingerlængde

Samfund:

• Karakterer i store grupper
• Testscorer
• Lønninger (til dels — faktisk lognormalt)

Standardiseret normalfordeling

Med μ = 0, σ = 1. Brug z-score til at overføre:

```

z = (x - μ) / σ

```

Derefter bruge z-tabeller.

Betinget sandsynlighed

P(A | B) = "sandsynlighed for A GIVET at B er sket"

```

P(A | B) = P(A og B) / P(B)

```

Eksempel: kort

P(konge | billedkort)?

Billedkort: 12 (konge, dronning, knægt i 4 farver)

Konger: 4 af disse er konger

P(konge | billedkort) = 4/12 = 1/3

Bayes' sætning

```

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)

```

Bruges i AI, medicin, retsvæsen.

Eksempel: medicinsk test

En test har:

• 99 % sand positiv (hvis syg)
• 1 % falsk positiv (hvis ikke syg)
• Sygdom er sjælden: 0,1 % af befolkningen

P(syg | positiv test)?

Du tror måske 99 %. Men korrekt svar er kun ca. 9 %!

Det kaldes base rate fallacy — folk glemmer at sygdommen er sjælden.

Forventet værdi

Gennemsnitsresultatet over mange forsøg.

```

E(X) = Σ (x × P(x))

```

Eksempel: Spil hvor:

• Vind 10 kr. med P = 0,2
• Tab 5 kr. med P = 0,8

E = 10 × 0,2 + (-5) × 0,8 = 2 - 4 = -2 kr

Du TABER 2 kr. i gennemsnit per spil. Spil ikke!

Forbered til STX

Sandsynlighedsfordelinger er kerne på STX:

• Matematik A og statistik
• Forskning og videnskab
• Maskinlæring og AI

Læringsmål

• Genkende binomial- og normalfordeling
• Bruge binomialformlen P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
• Anvende 68-95-99-reglen for normalfordeling
• Beregne betinget sandsynlighed P(A | B)
• Forstå Bayes' sætning (introduktion)
• Beregne forventet værdi E(X) for spil og beslutninger

Sandsynlighed-avanceret 🎲

Binomial: Kast en terning 5 gange. Hvad er P(nøjagtigt 2 sekser)?

Normalfordeling: Hvis IQ er N(100, 15), hvor mange procent af befolkningen har IQ > 130?

Forventet værdi: Et spil koster 10 kr. Du vinder 50 kr. med P = 0,15, ellers taber du din indsats. Er det værd at spille?