Sammensatte sandsynligheder (uafhængige hændelser)

Matematik · 7.-9. klasse · Statistik og sandsynlighed

Sammensatte sandsynligheder 🎲

Når 2 eller flere hændelser sker sammen, beregner du SAMMENSAT sandsynlighed.

Uafhængige hændelser

Uafhængige: den ene påvirker IKKE den anden.

Eksempler:

• Kast 2 mønter (første kast påvirker ikke anden)
• Kast terning 2 gange
• Vælge 2 kort MED tilbagelæggelse

Multiplikations-reglen

For uafhængige hændelser:

```

P(A og B) = P(A) × P(B)

```

Eksempel 1: to terninger

P(begge slår 6)?

• P(første 6) = 1/6
• P(anden 6) = 1/6
• P(begge 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36

Eksempel 2: mønter

P(3 krone i træk)?

• P(hver krone) = 1/2
• P(3 krone) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

Eksempel 3: mønt + terning

P(krone OG slå 6)?

• P(krone) = 1/2
• P(6) = 1/6
• P(begge) = 1/2 × 1/6 = 1/12

Afhængige hændelser

Afhængige: den ene PÅVIRKER den anden.

Eksempel: Trække 2 kort UDEN tilbagelæggelse.

• Første kort: 52 muligheder
• Andet kort: 51 muligheder (ét er taget)

Regel for afhængige

```

P(A og B) = P(A) × P(B | A)

```

hvor P(B | A) = P(B givet at A er sket).

Eksempel: P(to hjerter i træk, uden tilbagelæggelse)?

• P(første hjerter) = 13/52
• P(anden hjerter | første var hjerter) = 12/51
• P(begge) = 13/52 × 12/51 = 1/17

"Eller"-regel

For to ikke-overlappende hændelser:

```

P(A eller B) = P(A) + P(B)

```

Eksempel: P(terning slår 2 eller 5)?

• P(2) = 1/6, P(5) = 1/6
• P(2 eller 5) = 1/6 + 1/6 = 1/3

"Eller"-regel med overlap

Hvis A og B KAN ske samtidig:

```

P(A eller B) = P(A) + P(B) - P(A og B)

```

Eksempel: P(slå lige tal ELLER tal over 4)?

• Lige: {2, 4, 6}, P = 3/6
• Over 4: {5, 6}, P = 2/6
• Begge: {6}, P = 1/6
• P(lige eller over 4) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Komplement

P(ikke A) = 1 - P(A)

Eksempel: P(mønt IKKE krone) = 1 - 1/2 = 1/2

Ofte nyttigt: "mindst én"

For "mindst én" er det ofte lettere at beregne KOMPLEMENTET:

P(mindst én krone i 3 kast)?

• P(ingen krone) = (1/2)³ = 1/8
• P(mindst én krone) = 1 - 1/8 = 7/8

Pas på!

Uafhængige ≠ ekskluderende:

• Uafhængige: A påvirker ikke B
• Ekskluderende: A og B kan IKKE ske samtidig

Forveksle ikke \"og\" med \"eller\":

• Og → multiplicér
• Eller → adder (måske med korrektion)

FP9-anvendelse

Du bliver ofte spurgt om:

• Sammensat sandsynlighed
• Uafhængighed
• Gambler's fallacy (fælde!)

Læringsmål

• Beregne P(A og B) for uafhængige hændelser med multiplikation
• Skelne uafhængige og afhængige hændelser
• Anvende "eller"-regel med og uden overlap
• Bruge komplement-reglen P(ikke A) = 1 - P(A)
• Bruge "mindst én"-trick med komplement
• Anvende i praktiske sandsynlighedsopgaver

Sandsynligheds-træning 🎲

Mønt-serie: Beregn P(3 krone i træk), P(4 krone i træk), P(mindst én plat i 4 kast).

Terning-problemer: Beregn P(begge terninger slår 6), P(sum = 7), P(første er 6 og anden er 2 eller 3).

Kortspil: Beregn P(trække 2 hjerter i træk med og uden tilbagelæggelse).