Multiplikationsprincippet

Matematik · 7.-9. klasse · Statistik og sandsynlighed

Multiplikationsprincippet — tælle kombinationer 📈

Multiplikationsprincippet: Hvis noget kan ske på m forskellige måder, og noget andet på n måder, så kan BEGGE ske på m × n måder.

Grundprincip

```

Samlet antal muligheder = m × n

```

Eksempel 1: outfits

Du har:

• 3 t-shirts
• 4 par bukser

Hvor mange outfit-kombinationer?

→ 3 × 4 = 12 outfits

Eksempel 2: menu

En restaurant har:

• 5 forretter
• 8 hovedretter
• 3 desserter

Hvor mange 3-retters menuer?

→ 5 × 8 × 3 = 120 menuer

Eksempel 3: koder

En pinkode har 4 cifre (0-9).

Antal mulige koder?

→ 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 koder

Eksempel 4: nummerplader

En dansk nummerplade har:

• 2 bogstaver (26 muligheder hver, dansk har 29 men ikke alle bruges)
• 5 cifre (10 hver)

→ ca. 26² × 10⁵ = 67.600.000 plader!

Generel formel for k uafhængige valg

```

Samlet = m₁ × m₂ × m₃ × ... × mₖ

```

Med tilbagelæggelse vs. uden

Med tilbagelæggelse: ét element kan vælges flere gange

• 4-cifret kode hvor cifre kan gentages: 10⁴

Uden tilbagelæggelse: hvert element kan kun vælges én gang

• Vælg 3 venner af 10 til forskellige roller: 10 × 9 × 8 = 720

Eksempel: permutationer

"Hvor mange måder kan 5 venner stille sig i kø på?"

→ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Det kaldes 5 fakultet = 5!

Træ-diagram

For SMÅ eksperimenter kan du TEGNE alle udfald:

```

2 mønter:

K ── K → KK

K ──┤

K ── P → KP

P ── K → PK

P ──┤

P ── P → PP

```

Totalt: 4 udfald.

Anvendelse i sandsynlighed

Multiplikationsprincippet hjælper finde antallet af udfald i udfaldsrummet:

Eksempel: 3 mønter kast.

Ω har 2 × 2 × 2 = 8 udfald.

De er: KKK, KKP, KPK, KPP, PKK, PKP, PPK, PPP.

Sandsynlighed med multiplikation

Hvis hændelser er UAFHÆNGIGE:

```

P(A og B) = P(A) × P(B)

```

Eksempel: Kast to terninger.

• P(første er 6) = 1/6
• P(anden er 6) = 1/6
• P(begge er 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36

Hverdagseksempler

Telefonnumre: 10⁸ = 100 millioner mulige

DNA: 4 baser × mange positioner → kombinationer eksploderer

Adgangskoder: jo flere muligheder per position → jo mere sikker

Pas på

• Multiplikation, ikke plus
• m × n ≠ n + m (forskel!)
• Uafhængige hændelser for sandsynlighed

FP9-anvendelse

Du kan blive bedt om at:

• Beregne antal kombinationer
• Beregne sammensat sandsynlighed
• Tegne træ-diagrammer

Læringsmål

• Anvende multiplikationsprincippet til at tælle kombinationer
• Beregne samlet antal = m × n × ...
• Skelne mellem "med" og "uden" tilbagelæggelse
• Tegne træ-diagrammer til at visualisere
• Bruge multiplikationsprincippet til uafhængige sandsynligheder
• Løse hverdagsopgaver (koder, menuer, outfits)

Kombinations-udfordring 📈

Outfit-tæller: Du har 6 t-shirts, 4 bukser, 3 par sko. Hvor mange outfits?

Pinkode-sikkerhed: 4-cifret vs. 6-cifret pinkode. Hvor mange flere muligheder har 6-cifret?

Menu-design: En restaurant vil tilbyde 100 forskellige 3-retters menuer. Hvor mange forretter, hovedretter og desserter skal de have?