Lineære funktioner (y=ax+b, hældning)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Lineære funktioner — rette linjer 📈

En lineær funktion har form: y = ax + b

Grafen er ALTID en RET LINJE i et koordinatsystem.

Variable forklaret

• a = HÆLDNING (hvor stejl linjen er)
• b = SKÆRING med y-aksen (hvor linjen krydser y når x = 0)

Hvad fortæller a (hældning)?

a > 0: linjen STIGER (op fra venstre mod højre)

Eksempel: y = 2x + 1 (stigning 2)

a < 0: linjen FALDER (ned fra venstre mod højre)

Eksempel: y = -3x + 5 (falder med 3)

a = 0: linjen er VANDRET (konstant værdi)

Eksempel: y = 5

Hvad fortæller b (y-skæring)?

b er HVOR linjen krydser y-aksen (når x = 0).

Eksempel: y = 2x + 3

• Når x = 0: y = 3
• Linjen krydser y-aksen i punktet (0, 3)

Tegne en lineær funktion

Trin 1: Find skæring med y-aksen (b)

Trin 2: Brug hældningen til at finde et andet punkt

Trin 3: Tegn linjen

Eksempel: y = 2x + 1

• Skæring: (0, 1)
• Hældning 2: gå 1 til højre, 2 op → (1, 3)
• Tegn linje gennem (0, 1) og (1, 3)

Beregne y for givet x

Eksempel: y = 3x - 5, find y når x = 4

→ y = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7

Find a fra to punkter

Kender du (x₁, y₁) og (x₂, y₂):

```

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

```

Eksempel: Punkter (1, 3) og (4, 12)

→ a = (12 - 3) / (4 - 1) = 9/3 = 3

Find b når a er kendt

Indsæt et punkt og a i ligningen:

Eksempel: a = 3, punkt (1, 3)

→ 3 = 3(1) + b

→ b = 0

Ligning: y = 3x + 0 = 3x

Specielle linjer

y = x (identitetslinje, hældning 1, skæring 0)

y = -x (hældning -1, skæring 0)

y = c (vandret linje gennem y = c)

x = c (lodret linje, IKKE en funktion)

Lineær funktion i hverdagen

Mobilabonnement: y = 100 + 1·x

• 100 kr fast pr. måned (b)
• 1 kr pr. minut (a)

Køretur: y = 60x

• Hastighed 60 km/t
• y = afstand efter x timer

Saving: y = 50x + 200

• Start med 200 kr
• Spar 50 kr/uge

Skæring med x-aksen (rod)

Find hvor y = 0:

Eksempel: y = 2x + 6

→ 0 = 2x + 6

→ x = -3

Linjen krydser x-aksen i (-3, 0).

To linjers skæring

For at finde hvor to linjer mødes, sæt deres y'er lig hinanden:

Eksempel: y = 2x + 1 og y = -x + 7

2x + 1 = -x + 7

3x = 6

x = 2

Indsæt: y = 2(2) + 1 = 5

Mødes i (2, 5).

GeoGebra-tip

Indtast lineær funktion i GeoGebra:

```

f(x) = 2x + 1

```

GeoGebra tegner linjen automatisk!

Provér at INDTASTE skydere for a og b — så kan du TRÆKKE og se ændringen.

Pas på

• Hældning ≠ vinkel: hældning er forhold, ikke vinkel
• a kan være brøk eller decimal: y = 0,5x + 3
• b kan være negativt: y = 2x - 5
• Lodret linje (x = 5) er IKKE en funktion

Læringsmål

• Aflæse a (hældning) og b (y-skæring) fra ligningen y = ax + b
• Tegne lineære funktioner i koordinatsystem
• Beregne y for givet x og omvendt
• Finde a fra to punkter med formlen (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
• Finde skæring mellem to linjer
• Anvende lineære funktioner i hverdagsmodeller (mobil, transport, opsparing)

Lineær-træning 📈

Aflæsning: For y = -2x + 5, hvad er hældning og y-skæring?

Find a: Hvad er hældningen for linjen gennem (1, 3) og (5, 11)?

Skæring: Find skæringen mellem y = 3x - 1 og y = -x + 7.