Ligningssystemer (avanceret)

Matematik · 10. klasse · Tal og algebra

Ligningssystemer (avanceret) ➗

På 10. klasse-niveau skal du kunne løse 3-ubekendte systemer — forberedelse til STX og ingeniørstudier.

2-ubekendte systemer (gentagelse)

```

x + y = 10

x - y = 2

```

Løsning: læg sammen → 2x = 12 → x = 6, y = 4

3-ubekendte systemer

```

x + y + z = 6

2x - y + z = 3

x + 2y - z = 5

```

Krav: 3 ligninger med 3 ubekendte.

Løsningsmetoder

1. Substitution:

Isoler én variabel fra én ligning, indsæt i de andre.

2. Eliminationsmetode (addition):

Kombiner 2 ligninger for at ELIMINERE én variabel.

Eksempel:

```

x + y + z = 6 (1)

2x - y + z = 3 (2)

x + 2y - z = 5 (3)

```

(1) + (2): 3x + 2z = 9

(1) + (3): 2x + 3y = 11

Nu har vi 2 ligninger med 2-3 ubekendte. Fortsæt elimination.

3. Matrix (Gauss-elimination):

Strukturel metode. Lærer du på STX/ingeniør.

4. CAS:

Hurtigst!

```

solve({x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 5}, {x, y, z})

```

Får: x = 1, y = 2, z = 3.

Typer af løsninger

Entydig løsning: én værdi for hver variabel (normal)

Ingen løsning: systemet er inkonsistent

• Fx: x + y = 5, x + y = 10 (kan ikke begge være sande)

Uendelig mange løsninger: systemet har færre uafhængige ligninger end ubekendte

• Fx: x + y = 5, 2x + 2y = 10 (samme ligning)

Grafisk fortolkning

2 ubekendte: 2 linjer i plan

• Skæringspunkt = løsning
• Parallelle = ingen løsning
• Samme linje = uendelig løsninger

3 ubekendte: 3 planer i rum

• 1 punkt = entydig
• Linje af punkter = uendelig
• Ingen fælles punkt = ingen løsning

Hverdagsanvendelse

Blanding:

3 slags olie blandes. Du kender total mængde, pris pr. stk., og en speciel egenskab.

Kost-model:

3 ingredienser med kendt pris. Find optimal blanding for givet protein, kulhydrat, fedt.

Netværks-analyse:

Strømmen i et elektrisk kredsløb med 3 grene.

Eksempel: blandings-problem

"Du skal blande 3 vinsorter for at få 100 liter blanding med 12 % alkohol."

• Vin A: 8 % alkohol
• Vin B: 12 % alkohol
• Vin C: 15 % alkohol

Ligninger:

• x + y + z = 100 (total mængde)
• 0,08x + 0,12y + 0,15z = 0,12 × 100 = 12 (total alkohol)

(2 ligninger, 3 ubekendte → uendelig mange løsninger — men hvis du tilføjer en 3. betingelse, fx x = z, får du entydig)

CAS er din ven

For komplekse systemer: BRUG CAS!

• WordMat
• GeoGebra CAS
• Wolfram Alpha

Håndberegning for 2-3 ubekendte, CAS for større.

Læringsmål

• Løse 3-ubekendte ligningssystemer algebraisk
• Bruge substitutions- eller eliminations-metode systematisk
• Skelne entydig, ingen og uendelig løsning
• Forstå grafisk fortolkning (linjer, planer)
• Bruge CAS til komplekse systemer
• Anvende på hverdagsproblemer (blanding, økonomi)

Ligningssystem-træning ➗

Håndberegning: Løs: x + 2y + z = 9, 2x + y - z = 3, x - y + 2z = 8.

CAS: Brug Wolfram Alpha til at løse: 3x + 2y - z = 1, x - y + 2z = 4, 2x + 3y + z = 5.

Hverdagsopgave: Tre venner deler en pizza. Anna tager dobbelt så meget som Bo. Bo tager halvdelen af Carls. Total: 12 stykker. Hvor meget får hver?