Kvadratsætningerne ((a+b)²)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Kvadratsætningerne — algebraens mestervåben ⚡

De 3 kvadratsætninger er nogle af algebraens MEST BRUGTE formler. De gør det hurtigt at gange ud OG at faktorisere.

De 3 kvadratsætninger

1. Første kvadratsætning (binomet kvadreret)

```

(a + b)² = a² + 2ab + b²

```

Eksempel: (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

2. Anden kvadratsætning (negativt binom)

```

(a - b)² = a² - 2ab + b²

```

Eksempel: (x - 4)² = x² - 2(x)(4) + 4² = x² - 8x + 16

3. Tredje kvadratsætning (konjugatregel)

```

(a + b)(a - b) = a² - b²

```

Eksempel: (x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25

Visuel huskeregel — første kvadratsætning

```

a b

┌────┬───┐

a │ a² │ab │

├────┼───┤

b │ ab │ b²│

└────┴───┘

```

Total areal = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² ✓

Bruge dem til at gange ud

Eksempel 1: (2x + 3)²

Form: (a + b)² hvor a = 2x, b = 3

→ (2x)² + 2(2x)(3) + 3²

→ 4x² + 12x + 9

Eksempel 2: (3x - 5)²

Form: (a - b)² hvor a = 3x, b = 5

→ (3x)² - 2(3x)(5) + 5²

→ 9x² - 30x + 25

Eksempel 3: (x + 4)(x - 4)

Form: (a + b)(a - b) hvor a = x, b = 4

→ x² - 4²

→ x² - 16

Bruge dem til faktorisering

Eksempel 1: x² + 10x + 25

Genkend: x² + 2(x)(5) + 5² = (x + 5)²

Eksempel 2: x² - 12x + 36

Genkend: x² - 2(x)(6) + 6² = (x - 6)²

Eksempel 3: x² - 49

Genkend: x² - 7² = (x + 7)(x - 7)

Pas på 3 led i (a±b)²

OFTE GLEMT FEJL:

(a + b)² ≠ a² + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b² — DER ER 3 LED!

Det midterste led (2ab) er KRITISK.

Eksempler på fejl

Forkert: (x + 3)² = x² + 9

Rigtigt: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Forkert: (x - 5)² = x² - 25

Rigtigt: (x - 5)² = x² - 10x + 25

(x² - 25 er noget HELT andet — det er (x-5)(x+5))

Andre vigtige variationer

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (sværere!)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (kubsætning, lærer du senere)

Praktiske anvendelser

Hurtig hovedregning:

Beregn 25²: (20 + 5)² = 400 + 200 + 25 = 625

Beregn 19 × 21: (20 - 1)(20 + 1) = 400 - 1 = 399

Geometri:

Areal af kvadrat med side (x + 3): A = (x + 3)² = x² + 6x + 9

Algebra:

Udvidelse og forenkling i ligninger

Pas på fælder

• Glem ikke det midterste led (2ab eller -2ab)
• (a + b)² ≠ a² + b²
• Tjek tegnet ved (a - b)²: midten er NEGATIV
• Konjugatregel: kun ved (a+b)(a-b) — IKKE (a+b)(a+b)

Eksempel: brug i ligning

"Løs (x + 3)² = 25"

Metode 1 (kvadratrod begge sider):

→ x + 3 = ±5

→ x = 2 eller x = -8

Metode 2 (gange ud):

→ x² + 6x + 9 = 25

→ x² + 6x - 16 = 0

→ Løs med diskriminantformel

Mestre dem

Lær formlerne UDENAD:

```

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

```

De er REDSKABER du bruger HVER GANG i algebra.

Læringsmål

• Kende de 3 kvadratsætninger udenad
• Bruge dem til at gange udtryk ud
• Bruge dem til at faktorisere udtryk
• Genkende 3-leddede former (a² ± 2ab + b²)
• Genkende konjugatregel (a + b)(a - b)
• Pas på det midterste led 2ab — det glemmes ofte

Kvadratsætnings-træning ⚡

Gange ud: (x + 7)², (2x - 3)², (x + 4)(x - 4).

Faktorisér: x² + 14x + 49, x² - 16x + 64, x² - 100.

Hurtig hovedregning: Brug kvadratsætninger til at beregne 35², 99 × 101, 27 × 33.