Sandsynlighedstræ

Statistik C · STX · C-niveau · Sandsynlighedsregning

📊 Sandsynlighedstræ

Et sandsynlighedstræ er et visuelt værktøj til at overskue og beregne sandsynligheder for serier af hændelser.

Opbygning

• Hver gren repræsenterer en mulig udfald
• Hvert "niveau" i træet repræsenterer ét trin/én hændelse
• Sandsynligheder skrives på grenene — summen af grene fra samme punkt = 1

Multiplikationsprincippet

• Sandsynligheden for en given "rute" gennem træet = produktet af sandsynlighederne langs vejen
• Eksempel: P(plat, plat) ved to møntkast = 0,5 × 0,5 = 0,25

Additionsprincippet

• Sandsynligheden for FLERE forskellige ruter, der fører til samme resultat, lægges sammen
• Eksempel: P(præcis én plat ved to kast) = P(plat, krone) + P(krone, plat) = 0,25 + 0,25 = 0,5

Med og uden tilbagelægning

• Med tilbagelægning: sandsynlighederne forbliver de samme i hvert trin (fx terningkast)
• Uden tilbagelægning: sandsynlighederne ændrer sig undervejs (fx at trække kort fra en bunke uden at lægge dem tilbage)

Eksempel — to kuglerækker fra en pose

En pose har 3 røde og 2 blå kugler. Træk to kugler uden tilbagelægning:

• 1. trin: P(rød) = 3/5, P(blå) = 2/5
• 2. trin afhænger af, hvad der blev trukket først
• Sandsynlighedstræet gør det overskueligt at beregne alle kombinationer

Hvorfor det er nyttigt

Sandsynlighedstræer strukturerer komplekse, flertrins-problemer — og gør usynlige antagelser (fx "med eller uden tilbagelægning") tydelige.

Læringsmål

• Tegne og bruge et sandsynlighedstræ til at strukturere et problem
• Anvende multiplikations- og additionsprincippet korrekt
• Skelne mellem situationer med og uden tilbagelægning
• Beregne sandsynligheder for flertrins-hændelser

Sådan kan du arbejde med emnet

• Tegn et sandsynlighedstræ for et eksempel med to på hinanden følgende hændelser, fx to terningkast
• Beregn sandsynligheden for en bestemt udfaldskombination ved hjælp af træet
• Diskutér hvordan et sandsynlighedstræ kan hjælpe med at overskue flere mulige udfald

Træningsforslag

• Tegn et sandsynlighedstræ for tre møntkast og beregn alle udfald
• Løs et "uden tilbagelægning"-problem med farvede kugler i en pose
• Find et virkeligt eksempel (fx vejrudsigt flere dage i træk), hvor et sandsynlighedstræ kunne bruges