Beherske standardstamfunktioner

Matematik B · STX · B-niveau · Integralregning (basisniveau)

🧮 Beherske standardstamfunktioner

Stamfunktion (antiderivative, integral) = den OMVENDTE operation af differentiation. Hvis F'(x) = f(x), så er F(x) en STAMFUNKTION til f(x).

Notation: F(x) = ∫ f(x) dx.

Konstant tilføjes: hvis F(x) er en stamfunktion, så er F(x) + C OGSÅ en stamfunktion (alle stamfunktioner adskiller sig kun ved konstant).

Standard-stamfunktioner (= invers af standard-afledte):

1. ∫ 0 dx = C.

2. ∫ k dx = k·x + C (k konstant).

3. ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (for n ≠ -1).

HUSK: dividér med (n+1) — modsat differentiation hvor man multiplicerer.

• (a) ∫ x dx = x²/2 + C.
• (b) ∫ x² dx = x³/3 + C.
• (c) ∫ x³ dx = x⁴/4 + C.
• (d) ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = (2/3)·x^(3/2) + C.
• (e) ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = -1/x + C.

4. ∫ 1/x dx = ln|x| + C (specialtilfælde for n = -1).

5. ∫ e^x dx = e^x + C (UFORANDRET!).

6. ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C.

7. ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C (negativt!).

8. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.

9. ∫ 1/cos²(x) dx = tan(x) + C.

Linearitets-regler:

• (a) Sum-regel: ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx.
• (b) Konstant-regel: ∫ k·f dx = k·∫ f dx.

Eksempler — beregninger:

1. ∫ (3x² + 2x − 5) dx = x³ + x² − 5x + C.

2. ∫ (2sin(x) + 3cos(x)) dx = -2cos(x) + 3sin(x) + C.

3. ∫ e^(2x) dx = e^(2x)/2 + C (kædereglens omvendte).

4. ∫ 1/(2x) dx = (1/2)ln|x| + C.

5. ∫ (x³ + 1/x²) dx = x⁴/4 − 1/x + C.

Substitutions-regel (kædereglens invers, B/A-niveau): hvis u = g(x), så ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du.

Eksempel: ∫ 2x·cos(x²) dx. Lad u = x

Læringsmål

• Memorere standardstamfunktioner for x^n, 1/x, e^x, sin(x) og cos(x)
• Anvende sum- og konstantregel ved integration
• Bestemme stamfunktion til kombinerede udtryk som 3x² + 2x − 5
• Forstå +C og hvorfor alle stamfunktioner til samme funktion adskiller sig ved en konstant
• Genkende substitutionsreglen som kædereglens omvendte

Sådan kan du arbejde med emnet

• Bestem stamfunktionen F(x) til f(x) = 3x² + 2x - 1 og tjek ved at differentiere F
• Bestem stamfunktionen til g(x) = cos(x) + e^x og skriv den generelle løsning med +k
• Forklar, hvad det betyder, at en stamfunktion ikke er entydig

Træningsforslag

• Find ∫(3x² + 2x − 5)dx og ∫(2sin(x) + 3cos(x))dx.
• Beregn ∫1/(2x)dx og ∫(x³ + 1/x²)dx.
• Brug substitution til at finde ∫2x·cos(x²)dx — identificér u og du.
• Forklar hvorfor man dividerer med (n+1) ved integration af x^n, modsat differentiation hvor man ganger med n.

Brobygning

Standardstamfunktioner er grundlaget for Fundamental Theorem of Calculus i næste emne, hvor de bruges til at beregne bestemte integraler og dermed arealer.