Lineær regression

Matematik B (HF) · HF · B-niveau · Statistik

🧮 Lineær regression

Lineær regression er en af de vigtigste statistiske metoder — den findes i alle videnskaber og industri. Den finder den bedste rette linje der beskriver sammenhængen mellem to variabler.

Grundformlen

```

y = a · x + b

```

hvor:

• y = afhængig variabel (responsvariabel)
• x = uafhængig variabel (forklaringsvariabel)
• a = hældningskoefficient (effekt af x)
• b = skæring med y-aksen

Mindste kvadraters metode

Vi finder den linje der minimerer den samlede kvadratiske afstand fra punkterne:

```

Minimér: Σ (yᵢ − (a · xᵢ + b))²

```

Dette giver de optimale værdier:

```

a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²

b = ȳ − a · x̄

```

hvor x̄ og ȳ er gennemsnit.

Determinationskoefficient R²

R² måler hvor godt linjen passer til data:

| R² | Tolkning |

|---|---|

| 1,0 | Perfekt lineær sammenhæng |

| 0,9-1,0 | Meget stærk |

| 0,7-0,9 | Stærk |

| 0,5-0,7 | Moderat |

| 0,3-0,5 | Svag |

| 0,0-0,3 | Næsten ingen |

| 0,0 | Ingen sammenhæng |

R² = 1 − SSR/SST hvor SSR er restspredning og SST er total spredning.

Konkret eksempel

Sammenhæng mellem reklamebudget (1000 kr) og salg (1000 kr):

| Budget | Salg |

|---|---|

| 10 | 105 |

| 20 | 110 |

| 30 | 115 |

| 40 | 120 |

| 50 | 125 |

Lineær regression: salg = 0,5 · budget + 100

Tolkning:

• Hvis intet budget: salg = 100
• Hver 1.000 kr budget øger salg med 500 kr
• R² = 1,0 (perfekt linje i dette idealiserede eksempel)

Linearisering af eksponentielle modeller

Mange virkelige relationer er eksponentielle: y = b · e^(kx)

Tag log på begge sider:

```

ln y = ln b + k · x

```

Nu kan vi bruge lineær regression på (x, ln y).

Eksempel: befolkningsvækst, virusudbredelse, finansiel rentes rente.

CAS-værktøjer

WordMat:

```

regression(x_data, y_data)

```

GeoGebra:

```

FitLine[<liste af punkter>]

```

Excel:

```

=LINREGR(y_data, x_data)

=PEARSON(x_data, y_data) (korrelation)

```

Python (avanceret):

```python

from scipy import stats

slope, intercept, r, p, se = stats.linregress(x, y)

```

Korrelation ≠ kausalitet — VIGTIG!

Høj R² betyder IKKE at x forårsager y.

Klassiske eksempler:

1. Issalg og drukneulykker korrelerer stærkt

• Det er IKKE fordi is forårsager drukning
• Fælles tredje variabel: varmt vejr

2. Stork-population og fødselstal i Tyskland

• Klassiker — ingen kausalitet (urbanisering forklarer begge)

3. Skostørrelse og læsefærdighed hos børn

• Begge stiger med alderen

Forudsætninger for lineær regression

For at modellen er gyldig, skal:

1. Linearitet: sammenhængen mellem x og y er lineær

2. Uafhængighed: observationerne er uafhængige

3. Homoskedastisitet: konstant varians af residualerne

4. Normalfordelte residualer

Tjek altid disse — ellers er konklusionerne tvivlsomme!

Anvendelser i samfunds- og naturvidenskab

• Økonomi: salg vs. budget, indkomst vs. uddannelse
• Sociologi: holdninger vs. alder
• Naturvidenskab: Hookes lov (F = k·x)
• Medicin: dosis vs. effekt
• Klima: CO₂ vs. temperatur

Multipel regression (udvidet)

Flere uafhængige variabler:

```

y = a₁·x₁ + a₂·x₂ + a₃·x₃ + b

```

Eksempel: salg = 0,3·budget + 0,4·sæson + 0,5·priskonkurrence + 50

HF Mat B / STX Mat A-anvendelse

Ved eksamen skal du:

• Beregne regressionslinje fra datasæt
• Tolke R²
• Bruge CAS-værktøj
• Identificere fejl (correlation ≠ causation)
• Anvende på konkret samfundsfaglig data

Vidste du at...

📊 Lineær regression blev udviklet af Francis Galton i 1880-erne — bl.a. for at studere arvelighed af højde mellem forældre og børn.

🤖 Moderne maskinlæring bygger fundamentalt på (avancerede former for) lineær regression — herunder neuralt netværk.

Læringsmål

• Opstille en lineær model ud fra et datasæt
• Anvende regressionslinjen til at lave forudsigelser
• Vurdere modellens validitet ud fra korrelationskoefficienten

Sådan kan du arbejde med emnet

• Indtast et datasæt i CAS-værktøjet og lav en lineær regression — forklar, hvad regressionslinjen viser
• Forklar, hvad en korrelationskoefficient er, og hvad det betyder, hvis den er tæt på 1 eller tæt på 0
• Brug en regressionslinje til at forudsige en værdi uden for datasættet og diskuter, hvor sikker forudsigelsen er

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.