Lineær programmering

Matematik B (HF) · HF · B-niveau · Anvendt matematik

🧮 Lineær programmering

Lineær programmering (LP) = optimering af lineær målfunktion underlagt lineære bibetingelser (uligheder).

Standard-form: maksimér (eller minimér) Z = c₁·x₁ + c₂·x₂. Underlagt: a₁·x₁ + a₂·x₂ ≤ b₁ (begrænsning 1), ... + ikke-negativitetsbetingelser x₁, x₂ ≥ 0.

Klassisk eksempel — produktions-planning: virksomhed laver produkter A og B. Pris: A = 30 kr profit, B = 50 kr profit. Underlagt: 2x_A + 4x_B ≤ 100 (arbejdstimer), x_A + x_B ≤ 30 (materiale). Maksimér Z = 30x_A + 50x_B.

Grafisk løsning (kun 2 variabler):

1. Tegn bibetingelses-linjer i koordinatsystem.

2. Find polygon af tilladte (gyldige) løsninger.

3. Optimum ligger ALTID i et HJØRNE (Fundamental sætning for LP).

4. Tjek alle hjørner i målfunktionen.

Løsning af eksempel: hjørner (0,0), (30,0), (10,20), (0,25). Z(0,0)=0, Z(30,0)=900, Z(10,20)=300+1000=1300, Z(0,25)=1250. Maksimum ved A=10, B=20, profit=1300 kr.

Algebraisk løsning — Simplex-metoden (George Dantzig 1947): iterativ algoritme. Kan håndtere 1000+ variabler.

Excel Solver: Data → Solver → fastsæt målcelle, variabler, bibetingelser.

Anvendelser

produktion (max profit), transport (min omkostning), portfolio-optimering (max afkast ved given risiko), kostplan (min pris ved næringsstof-krav).

HF B-niveau: typisk 2-variabel grafisk løsning + simpel CAS-anvendelse.

Tip: lav altid skitse — den viser geometrien klart.

Læringsmål

• Opstille et lineært programmeringsproblem med restriktioner
• Bestemme den optimale løsning grafisk
• Tolke løsningen i en praktisk sammenhæng

Sådan kan du arbejde med emnet

• Opstil et simpelt lineært programmeringsproblem med 2 variable og løs det grafisk
• Forklar, hvad en bibetingelse er i et lineært programmeringsproblem, og giv et eksempel fra en virksomhedskontekst
• En virksomhed producerer 2 produkter med begrænsede ressourcer — opstil problemet og find den optimale produktionsmiks

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.