Substitution og partiel integration

Matematik A · STX · A-niveau · Integralregning

🧮 Substitution og partiel integration

Substitutionsregel (omvendt kæderegel): ∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du, hvor u = g(x).

Procedure: identificér indre funktion u, beregn du = g'(x)dx, omskriv integralet, integrer, substituer tilbage.

Eksempel: ∫x·e^(x²)dx. u = x², du = 2x dx → ½du = x dx. Integral bliver ½∫e^u du = ½e^u + C = ½e^(x²) + C.

Eksempel 2: ∫sin(3x)dx, u = 3x → du = 3dx → dx = du/3. ∫sin u · du/3 = −cos u/3 + C = −cos(3x)/3 + C.

Partiel integration (omvendt produktregel): ∫u·dv = u·v − ∫v·du.

Eksempel: ∫x·e^x dx. Vælg u = x (let differentieres → 1), dv = e^x dx (let integreres → e^x). Resultat: x·e^x − ∫e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x(x−1) + C. LIATE-reglen for valg af u: Logaritmer > Inverse trig > Algebraiske > Trig > Eksponential.

Eksempel ∫ln x dx: u = ln x, dv = dx → v = x. Resultat: x·ln x − ∫x·(1/x)dx = x·ln x − x + C.

Iteration: ∫x²·e^x dx kræver to runde partiel integration.

Vidste du at...

📚 LIATE-reglen er den mest praktiske huskeregel — den fortæller hvilken faktor der skal vælges som u i partiel integration.

🧠 Substitution kan også fungere "tilfældigt" — nogle integraler kræver kreativ omskrivning før den rigtige substitution opdages.

🤖 CAS-systemer som Maple/Mathematica kan løse de fleste integraler — men forstå metoderne MANUELT først!

Læringsmål

• Identificere indre funktion u og beregne du for at anvende substitution
• Gennemføre substitutionsregnen og substituere tilbage til x
• Anvende partiel integration ∫u·dv = u·v − ∫v·du korrekt
• Bruge LIATE-reglen til at vælge u hensigtsmæssigt
• Genkende integraler der kræver gentagen partiel integration

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn integralet af 2x · e^(x^2) ved hjælp af substitution
• Beregn integralet af x · sin(x) ved hjælp af partiel integration
• Forklar hvornår man typisk vælger substitution frem for partiel integration

Træningsforslag

• Beregn ∫x·e^(x²)dx og ∫sin(3x)dx ved substitution.
• Beregn ∫x·eˣdx og ∫ln(x)dx ved partiel integration.
• Brug LIATE til at afgøre hvilken faktor der skal være u i ∫x²·sin(x)dx, og løs integralet.
• Beregn ∫x²·eˣdx, som kræver to runder partiel integration.

Brobygning

Substitution og partiel integration er de to centrale teknikker, der gør det muligt at integrere de funktioner, der dukker op i fysiske og økonomiske modeller — fra eksponentielt henfald til logaritmiske vækstmodeller.