Lineær, eksponentiel og logistisk model

Matematik A · STX · A-niveau · Modellering

🧮 Lineær, eksponentiel og logistisk model

Tre standardmodeller.

Lineær: y = a·x + b. Konstant vækstrate. Eksempler: simpel rente, lineær termisk udvidelse.

Eksponentiel: y = b·a^x eller y = b·e^(kx). Konstant procentvis vækst. Eksempler: sammensat rente, befolkningsvækst kort sigt, bakteriekultur, radioaktivt henfald. Linearisering: ln y = ln b + kx.

Logistisk model: y = K/(1 + ((K-y₀)/y₀)·e^(-rt)). K = bæreevne. Symmetrisk S-kurve. Vendepunkt ved y = K/2.

Eksempler

virkelige populationer, nye produkter på markedet, COVID-19 epidemikurver.

Verhulst-ligning: dy/dt = r·y·(1-y/K).

CAS: ExpReg, LogReg, LinReg-funktioner. R²-værdi viser fit.

Modeludvælgelse: enkelhed (Occam), fit-kvalitet, fysisk realisme, ekstrapolation.

Klimavidenskab: anvender komplekse multivariable modeller (klimamodeller med multiple feedbacks).

Vidste du at...

🦠 COVID-19 fulgte i starten eksponentiel vækst — men flade ud til logistisk når immunitet og restriktioner kom.

📈 Moores lov (chip-kapacitet fordobles hver 2. år) er en eksponentiel model — har holdt i 50+ år!

🐰 Verhulst opfandt logistisk vækst i 1838 — for at modellere kanin-bestande på en ø.

Læringsmål

• Genkende og opstille lineær, eksponentiel og logistisk model ud fra data
• Linearisere eksponentielle data ved ln y = ln b + kx
• Identificere bæreevne K og vendepunkt (y = K/2) i logistisk model
• Bruge CAS-regression (LinReg, ExpReg, LogReg) og fortolke R²
• Vælge model ud fra fysisk realisme, fit-kvalitet og enkelhed (Occams ragekniv)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Forklar hvornår man bør bruge en lineær, en eksponentiel og en logistisk model til at beskrive en udvikling
• Beskriv hvordan en logistisk models graf adskiller sig fra en eksponentiel models graf på lang sigt
• Find et eksempel på en størrelse, der bedst beskrives med en logistisk model, og forklar hvorfor

Træningsforslag

• Givet et datasæt for bakterievækst — afgør om lineær eller eksponentiel model passer bedst, og find parametrene med CAS.
• Anvend Verhulst-ligningen dy/dt = r·y·(1−y/K) til at beskrive et produkts udbredelse på et marked med bæreevne K = 1.000.000 brugere.
• Linearisér et eksponentielt datasæt med ln y, og bestem k og b fra hældning og skæring.
• Diskutér hvornår COVID-19-data skiftede fra eksponentiel til logistisk model, og hvad der udløste skiftet.

Brobygning

De tre standardmodeller går igen i Differentialligninger (Verhulst-ligningen er en separabel diff.ligning) og i Modellering med CAS — og er centrale i SRP med fysik, biologi eller samfundsfag.