Stamfunktion og bestemt integral

Matematik A (HHX) · HHX · A-niveau · Integralregning

🧮 Stamfunktion og bestemt integral

Stamfunktion: F(x) er stamfunktion til f(x) hvis F'(x) = f(x). Skrives ∫f(x)dx = F(x) + C, hvor C er integrationskonstanten.

Grundlæggende stamfunktioner: ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1). ∫1/x dx = ln|x| + C. ∫eˣ dx = eˣ + C. ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. ∫sin x dx = -cos x + C. ∫cos x dx = sin x + C.

Regneregler: ∫(f+g)dx = ∫f dx + ∫g dx. ∫k·f dx = k·∫f dx.

Substitution: u = g(x), du = g'(x)dx. Eksempel: ∫2x·e^(x²) dx. Lad u = x², du = 2x dx. ∫eᵘ du = eᵘ + C = e^(x²) + C.

Partiel integration (omvendt produktregel): ∫u·v' dx = u·v - ∫u'·v dx. Eksempel: ∫x·eˣ dx = x·eˣ - ∫1·eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C = (x-1)eˣ + C.

Bestemt integral: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Numerisk værdi der repræsenterer arealet mellem kurven og x-aksen fra a til b.

Eksempel: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,67.

Egenskaber

∫_a^b = -∫_b^a. ∫_a^a = 0. ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b (additivitet).

Anvendelser i økonomi: omkostningsfunktion C(x) = ∫MC(x)dx (marginalomkostning integreres til total). Forbruger- og producentoverskud (som ovenfor).

Numerisk integration: når stamfunktionen ikke kan findes analytisk. Trapez-reglen, Simpson's regel. Bruges i CAS.

Middelværdi af funktion: f̄ = (1/(b-a))·∫_a^b f(x) dx.

Areal mellem to kurver: ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx hvor f ≥ g.

Læringsmål

• Bestemme stamfunktioner til simple funktioner
• Beregne bestemte integraler og tolke deres betydning
• Anvende integralregning til at løse praktiske problemer

Sådan kan du arbejde med emnet

• Find stamfunktionen til f(x) = 3x^2 - 4x + 5, og kontrollér svaret ved at differentiere resultatet
• Beregn det bestemte integral af f(x) = x^2 + 2x fra x = 1 til x = 4 ved håndregning og verificér med GeoGebra
• Forklar, hvad det bestemte integral repræsenterer geometrisk, og beregn arealet under f(x) = 2x + 1 fra x = 0 til x = 3

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.